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安徽省宣城市宁国市2016届中考数学一模试卷含答案解析2016年安徽省宣城市宁国市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．﹣ C． D．32．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．3．如图，是一个平放在桌面上的瓷碗，它的主视图是（）A． B． C． D．4．在"百度"搜索中输入"新版中小学生则"，相关结果约1660000个，这个数据可用科学记数法表示为（）A．166×104 B．1.66×105 C．1.66×106 D．0.166×1075．下列图形中对称轴的条数为4的图形的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1=55°，则∠2的大小是（）A．25° B．30° C．35° D．40°7．如图，由于各人的习惯不同，双手交叉时左手大拇指或右手大拇指在上是一个随机事件，曾老师对他任教的学生做了一个调查，统计结果如下表所示： 2011届 2012届 2013届 2014届 2015届参与实验的人数 106 110 98 104 112右手大拇指在上的人数 54 57 49 51 56频率 0.509 0.518 0.500 0.490 0.500根据表格中的数据，你认为在这个随机事件中，右手大拇指在上的概率可以估计为（）A．0.6 B．0.5 C．0.45 D．0.48．如图，在?ABCD中，∠A=65°，DE⊥AB，垂足为点E，点F为边AD上的中点，连接FE，则∠AFE的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，BC=3，以点C为圆心，BC的长为半径的⊙C交AB于点D，交AC于点E，则（劣弧）的长为（）A．π B．π C．π D．π10．将一些相同的图形"●"按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中"●"的个数，若第n个图形中有272个"●"，则n的值是（）A．88 B．89 C．90 D．91二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．因式分解：x3﹣xy2=．12．计算：2xy2﹣3xy2=．13．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，0），直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为．14．在矩形纸片ABCD中，AB=16，AD=12，点P在边AB上，若将△DAP沿DP折叠，使点A恰好落在矩形对角线上的点A′处，则AP的长可能为．（把所有正确结论的序号都选上）①5；②6；③8；④9．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+sin30°．16．先化简，再求值：÷（1﹣），其中a=0．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？18．如图，排球在黑白两色的方砖上随机滚动，落在每块方砖上的可能性相同（若落在线上，则随机滚动一次）．（1）滚动一次，排球恰好落在白色方砖上的概率是；（2）连续滚动两次，排球两次都恰好落在白色方砖上的概率是多少呢？请通过画树状图或列表的方法求出这个概率．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．某市政府网站对2015年热议话题向市民进行问卷调查，在下列五个选项中选择你最关注的一项：A．教育；B．反腐；C．环保；D．二孩；E．其他．网站管理员小李将投票结果整理后绘制了下列两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）求出图1和图2中x，y的值；（2）补全两幅统计图，并求出扇形统计图中"二孩"和"其他"对应的扇形的圆心角度数；（3）该市有90万人口，请你估计该市2015年最关注"二孩"政策的人数．20．小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话：小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝卜和排骨的单价，请你通过计算分别求出今天萝卜和排骨的单价．六、解答题（本题满分12分）21．如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC．（1）若∠CPA=30°，求PC的长；（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小．七、解答题（本题满分12分）22．阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．探究发现：（1）当对角线AC，BD满足时，四边形OEMF是矩形．（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．拓展延伸：（3）如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．八、解答题（本题满分14分）23．如图，在平面直角坐标系中，有一条抛物线于x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，已知A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），（0，﹣2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）M为第四象限内的抛物线上的一点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标．（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G逆时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2016年安徽省宣城市宁国市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【考点】绝对值．【专题】计算题．【分析】根据绝对值的定义直接解答即可．【解答】解：∵﹣3的绝对值表示﹣3到原点的距离，∴|﹣3|=3，故选D．【点评】本题考查了绝对值的定义，知道绝对值表示某点到原点的距离是解题的关键．2．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＞﹣1，由②得，x≤1，故不等式组的解集为：﹣1＜x≤1．在数轴上表示为：．故选D．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组得解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．3．如图，是一个平放在桌面上的瓷碗，它的主视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．【解答】解：从正面看是母线为弧线的圆台，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．4．在"百度"搜索中输入"新版中小学生则"，相关结果约1660000个，这个数据可用科学记数法表示为（）A．166×104 B．1.66×105 C．1.66×106 D．0.166×107【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1660000=1.66×106，故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．下列图形中对称轴的条数为4的图形的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形及对称轴的定义求解．【解答】解：第一个是轴对称图形，有6条对称轴；第二个是轴对称图形，有4条对称轴；第三个是轴对称图形，有2条对称轴；第四个是轴对称图形，有4条对称轴；故对称轴的条数为4的图形的个数有2个．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1=55°，则∠2的大小是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【考点】平行线的性质．【分析】先根据AB∥CD，∠1=55°求出∠BDC的度数，再由AD⊥BD得出∠ADB=90°，进而可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠1=55°，∴∠BDC=180°﹣55°=125°．∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠2=∠BDC﹣∠ADB=125°﹣90°=35°．故选C．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．7．如图，由于各人的习惯不同，双手交叉时左手大拇指或右手大拇指在上是一个随机事件，曾老师对他任教的学生做了一个调查，统计结果如下表所示： 2011届 2012届 2013届 2014届 2015届参与实验的人数 106 110 98 104 112右手大拇指在上的人数 54 57 49 51 56频率 0.509 0.518 0.500 0.490 0.500根据表格中的数据，你认为在这个随机事件中，右手大拇指在上的概率可以估计为（）A．0.6 B．0.5 C．0.45 D．0.4【考点】利用频率估计概率．【分析】求得几次频率的平均数，看最接近哪个数即可．【解答】解：频率的平均数为：（0.509+0.518+0.5+0.49+0.5）=0.5034≈0.5，故选B．【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解大量重复试验中，事件发生的频率约等于概率．8．如图，在?ABCD中，∠A=65°，DE⊥AB，垂足为点E，点F为边AD上的中点，连接FE，则∠AFE的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【考点】平行四边形的性质．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出EF=AD=AF，由等腰三角形的性质得出∠FEA=∠A=65°，再由三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∵点F为边AD上的中点，∴EF=AD=AF，∴∠FEA=∠A=65°，∴∠AFE=180°﹣∠A﹣∠FEA=50°．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；由直角三角形斜边上的中线性质得出EF=AF是解决问题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，BC=3，以点C为圆心，BC的长为半径的⊙C交AB于点D，交AC于点E，则（劣弧）的长为（）A．π B．π C．π D．π【考点】弧长的计算．【专题】计算题．【分析】连接CD，只需求出∠BCD的度数，然后运用圆弧长公式就可解决问题．【解答】解：连接CD，如图所示，∵∠C=90°，∠A=20°，∴∠B=70°．∵CB=CD，∴∠BDC=∠B=70°，∴∠BCD=40°，∴的长为=．故选A．【点评】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的性质、圆弧长公式等知识，其中圆弧长公式为l=．10．将一些相同的图形"●"按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中"●"的个数，若第n个图形中有272个"●"，则n的值是（）A．88 B．89 C．90 D．91【考点】规律型：图形的变化类．【分析】根据题意，图形中"●"的个数是序数的3倍加2，据此规律可知第n个图形中"●"的个数，再根据题意列出方程可求得n的值．【解答】解：∵第1个图形中"●"的个数为：2+1×3=5个；第2个图形中"●"的个数为：2+2×3=8个；第3个图形中"●"的个数为：2+3×3=11个；…∴第n个图形中"●"的个数为：2+n×3=3n+2个；当3n+2=272时，解得：n=90．故选：C．【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．因式分解：x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x﹣y）（x+y）．故答案为：x（x﹣y）（x+y）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．计算：2xy2﹣3xy2=﹣xy2．【考点】合并同类项．【专题】计算题．【分析】直接根据合并同类项的法则运算即可．【解答】解：原式=﹣xy2．故答案为﹣xy2．【点评】本题考查了合并同类项：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．13．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，0），直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为4．【考点】相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．【分析】当PM⊥AB时，PM的长取得最小值，根据y=x+4，求得AO=3，BO=4，根据勾股定理得到AB==5，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：当PM⊥AB时，PM的长取得最小值，y=x+4，令x=0，得y=4，令y=0，得x=﹣3，∴AO=3，BO=4，∴AB==5，AP=0A+OP=5，在△AOB和△AMP中，，∴△AOB≌△AMP，∴PM=BO=4，故答案为：4．【点评】本题考查了全等三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．14．在矩形纸片ABCD中，AB=16，AD=12，点P在边AB上，若将△DAP沿DP折叠，使点A恰好落在矩形对角线上的点A′处，则AP的长可能为②④．（把所有正确结论的序号都选上）①5；②6；③8；④9．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】分两种情况探讨：点A落在矩形对角线BD上，点A落在矩形对角线AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．【解答】解：，①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=16，BC=12，∴BD=20，根据折叠的性质，AD=A′D=12，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=8，设AP=x，则BP=16﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（16﹣x）2=x2+82，解得：x=6，∴AP=6；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴=，AP==9，故答案为：②④．【点评】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+sin30°．【考点】实数的运算．【分析】分别按照特殊角的三角函数值、负整数指数幂及0指数幂计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=4﹣1+=．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．16．先化简，再求值：÷（1﹣），其中a=0．【考点】分式的化简求值．【分析】将被除式分子、分母分解因式同时将括号内化为同分母分式相减，再将除法转化为乘法，最后约分即可，将a=0代入即可求值．【解答】解：原式=÷=o=，当a=0时，原式==．【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】求这栋楼的高度，即BC的长度，根据BC=BD+DC，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别求出BD，CD即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵∠BDA=90°，∠BAD=30°，AD=42m，∴BD=ADtan30°=42×=14（m）．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴CD=ADtan60°=42×=42（m）．∴BC=BD+CD=14+42=56（m）．答：这栋楼的高度为56m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．18．如图，排球在黑白两色的方砖上随机滚动，落在每块方砖上的可能性相同（若落在线上，则随机滚动一次）．（1）滚动一次，排球恰好落在白色方砖上的概率是；（2）连续滚动两次，排球两次都恰好落在白色方砖上的概率是多少呢？请通过画树状图或列表的方法求出这个概率．【考点】列表法与树状图法；几何概率．【分析】（1）由共有4种等可能的结果，排球恰好落在白色方砖上的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与排球两次都恰好落在白色方砖上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵共有4种等可能的结果，排球恰好落在白色方砖上的有2种情况，∴滚动一次，排球恰好落在白色方砖上的概率是：=；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，排球两次都恰好落在白色方砖上的有4种情况，∴排球两次都恰好落在白色方砖上的概率为：=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．某市政府网站对2015年热议话题向市民进行问卷调查，在下列五个选项中选择你最关注的一项：A．教育；B．反腐；C．环保；D．二孩；E．其他．网站管理员小李将投票结果整理后绘制了下列两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）求出图1和图2中x，y的值；（2）补全两幅统计图，并求出扇形统计图中"二孩"和"其他"对应的扇形的圆心角度数；（3）该市有90万人口，请你估计该市2015年最关注"二孩"政策的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）先根据A类别人数和百分比求出总人数，根据将总人数乘以B类别圆心角占周角的比例可得B类别人数，将C类别人数除以总人数可得C类别的百分比；（2）将总人数减去其余类别的人数可得D类别的人数，将D类别人数除以总人数可得D类别百分比，E类别人数除以总人数可得E类别的百分比，据此补全图形；（3）用样本中D类别的百分比乘以总体中的人数可得．【解答】解：（1）参加投票的总人数为=1200（人），x=1200×=120，y=×100=20；（2）关注"二孩"的人数为：1200﹣120﹣300﹣240﹣60=480，占总人数的百分比为：×100%=40%，则圆心角为：360°×40%=144°，∵关注"其他"的人数为60，∴E所对应扇形圆心角度数为：=18°，补全图形如下：（3）90×40%=36（万人）．答：估计该市2015年最关注"二孩"政策的人数大约有36万人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话：小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝卜和排骨的单价，请你通过计算分别求出今天萝卜和排骨的单价．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设上个月萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价是y元/斤，根据价格=萝卜单价×数量+排骨单价×数量，可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组可求出上个月萝卜和排骨的单价，再根据现价=上个月价格×（1+上涨率）即可得出结论．【解答】解：设上个月萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价是y元/斤，依题意得，解得：．（1+30%）x=1.3，（1+40%）y=21．答：今天萝卜的单价是1.3元/斤，排骨的单价是21元/斤．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．六、解答题（本题满分12分）21．如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC．（1）若∠CPA=30°，求PC的长；（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小．【考点】解直角三角形；切线的性质．【专题】综合题．【分析】（1）作辅助线，连接OC，根据切线的性质知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的长，可将PC的长求出；（2）通过角之间的转化，可知：∠CMP=（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不发生变化．【解答】解：（1）连接OC，∵AB=4，∴OC=2∵PC为⊙O的切线，∠CPO=30°∴PC=；（2）∠CMP的大小没有变化．理由如下：∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理），∠A=∠COP（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠MPA=∠CPO（角平分线的性质），∴∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．【点评】本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用．七、解答题（本题满分12分）22．阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．探究发现：（1）当对角线AC，BD满足AC⊥BD时，四边形OEMF是矩形．（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．拓展延伸：（3）如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由矩形的判断方法即可，（2）由三角形的中位线判断出ME=MF，得到邻边相等平行四边形是菱形；（3）先判断出四边形OEMF是平行四边形，再由平行四边形的性质得到EA=EM，即可．【解答】（1）解：要使平行四边形OEMF是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故答案为AC⊥BD．（2）四边形OEMF是菱形．证明：在矩形ABCD中，OA=OB，∵点M是AB的中点，ME∥BD，MF∥AC，∴ME=OB，MF=OA，∴ME=MF，∵四边形OEMF是平行四边形，∴四边形OEMF是菱形．（3）解：MF+OA=ME，理由：在矩形ABCD中，OA=OB，∵ME∥BD，MF∥AC，∴四边形OEMF是平行四边形，∴MF=EO，∴∠OAB=∠OBA=∠EMA，∴EA=EM，∵MF=OE，∴MF+OA=ME【点评】本题是四边形的比较简单的综合题，主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别．八、解答题（本题满分14分）23．如图，在平面直角坐标系中，有一条抛物线于x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，已知A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），（0，﹣2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）M为第四象限内的抛物线上的一点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标．（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G逆时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据A、B、C三点的坐标直接求出抛物线解析式；（2）先求出直线AC解析式，设出M点坐标，分别表示出线段GH、HM的长度，过点C作CE⊥MG于点E，表示出HE的长度，由CH=CM得HM=2EH，从而建立方程，解之即得M点坐标；（3）先判定三角形ABC是直角三角形，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，此时分两种情况讨论：①若∠PNG=∠CAB，则△PNG∽△CAB；②若∠PNG=∠CBA，则△PNG∽CBA．分别利用相似比建立方程求解．【解答】解：（1）设该抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），把（0，﹣2）代入上式，得a=，∴该抛物线的解析式为y=．（2）如图1，连接CM，过点C作CE⊥MG于点E，设直线AC的解析式为y=kx+h，（k≠0），把A、C两点坐标代入上式，得，解得，∴直线AC的解析式为．∵点M在抛物线上（且在第四象限），点H在AC上，MG⊥x轴，∴设M（m，），则H（m，），E（m，﹣2），∴MH=，又∵CM=CH，OC=GE=2，∴EH=GE﹣GH=，∴MH=2EH=m，由，得m=2或m=0（舍），∴m=2，此时，∴M（2，﹣3）．（3）假设存在点P，使以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似．∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2），∴AC==2，BC==，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90°，如图2，线段MG绕点G旋转的过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，设点P的坐标为（n，0），则点N的坐标为（n，），∵∠PNG=∠ACB=90°，①若∠PNG=∠CAB，则有△PNG∽△CAB成立，此时，∴，解得：n=3或n=﹣4（舍），∴P（3，0）；②若∠PNG=∠CBA，则有△PNG∽CBA成立，此时，∴，解得n=1+或n=1﹣（舍），∴P（1+，0）；综上所述，存点P（3，0）或P（1+，0），使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数数解析式、线段长度的坐标表示、一元二次方程的解法、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，难度适中．无论是第（2）问还是第（3）问，都是方程思想的体现，要引起重视．