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保定市定州市2017年中考数学一模试卷含答案解析河北省保定市定州市2016年中考数学一模试卷（解析版）参考答案与试题解析一、选择题：第1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分．在四个选项中只有一个选项是正确的．1．下列各数中，比﹣1小的数为（）A．0B．0.5C．﹣2D．1【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．【解答】解：A、﹣1＜0，故A错误；B、﹣1＜0.5，故B错误；C、﹣1＞﹣2，故C正确；D、1＞﹣1，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0，0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．2．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE=36°，则∠BOD=（）A．36°B．44°C．50°D．54°【分析】根据题意可以得到∠EOD的度数，由∠AOE=36°，∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，从而可以得到∠BOD的度数．【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠EOD=90°，又∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，∠AOE=36°，∴∠BOD=54°，故选D．【点评】本题考查垂线、平角，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．3．下列运算正确的是（）A．a2a3=a6B．（a3）2=a9C．（﹣）﹣1=﹣2D．2=a6，故此选项错误；C、（﹣）﹣1=﹣2，正确；D、（sin30°﹣π）0=1，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方和零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，熟练掌握运算法则是解题关键．4．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A．C．【分析】本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2．【解答】解：如图可知第四个顶点为：即：（3，2）．故选：B．【点评】本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．5．如图，在数轴上表示数×（﹣5）的点可能是（）A．点EB．点FC．点PD．点Q【分析】先化简×（﹣5）=﹣，由于﹣3＜﹣＜﹣2，根据数轴可知点F所表示的数大于﹣3而小于﹣2，依此即可得解．【解答】解：∵×（﹣5）=﹣，﹣3＜﹣＜﹣2，∴由数轴可知点F所表示的数大于﹣3而小于﹣2．故选：B．【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，主要根据数在数轴上的位置判断数的大小，以及通过求无理数近似值从而比较数的大小进行判断．6．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值为（）A．﹣1B．0C．2D．1【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4×1×a=0，然后解一次方程即可【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4×1×a=0，解得a=1．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（）A．5B．6C．8D．10【分析】由题意得出拼成的四边形的面积是正六边形面积的六分之一，求出正六边形的面积，即可得出结果．【解答】解：根据题意得：正六边形的面积=6×2=12，故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积=12﹣2=10；故选：D．【点评】本题主要考查的是正多边形的性质、三角形面积的计算；熟记正六边形的性质是解决问题的关键．8．一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．【解答】解：至少有1个球是黑球是必然事件，A正确；至少有1个球是白球是随机事件，B不正确；至少有2个球是黑球是随机事件，C不正确；至少有2个球是白球是随机事件，D不正确；故选：A．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【分析】先根据旋转对称图形的定义得出这个正多边形是正八边形、再根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．【解答】解：∵一个正多边形绕着它的中心旋转45°后，能与原正多边形重合，360°÷45°=8，∴这个正多边形是正八边形．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选C．【点评】本题综合考查了旋转对称图形的概念，中心对称图形和轴对称图形的定义．根据定义，得一个正n边形只要旋转的倍数角即可．奇数边的正多边形只是轴对称图形，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．10．为了解九（1）班学生的体温情况，对这个班所有学生测量了一次体温（单位：℃），小明将测量结果绘制成如下统计表和如图所示的扇形统计图．下列说法错误的是（）体温（℃） 36.1 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6人数（人） 4 8 8 10 x 2A．这些体温的众数是8B．这些体温的中位数是36.35C．这个班有40名学生D．x=8【分析】根据扇形统计图可知：36.1°C所在扇形的圆心角为36°，由此可得到36.1℃在总体中所占的百分比，再结合36.1℃的频数，就可求出九（1）班学生总数，进而可求出x的值，然后根据众数和中位数的定义就可解决问题．【解答】解：由扇形统计图可知：体温为36.1℃所占的百分数为×100%=10%，则九（1）班学生总数为=40，故C正确；则x=40﹣（4+8+8+10+2）=8，故D正确；由表可知这些体温的众数是36.4℃，故A错误；由表可知这些体温的中位数是=36.35（℃），故B正确．故选A．【点评】本题主要考查了表格与扇形统计图、众数及中位数的定义、圆心角的度数与项目所占百分比的关系、频数、总数及频率的关系等知识，利用36.1℃的频数及在总体中所占的百分比，是解决本题的关键．11．如图，在?ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（）A．0.5B．1C．D．2【分析】过点M作MG∥AB交AD于点G，根据AD∥BC，AB∥MG可得出四边形ABMG是菱形，故可得出BM的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：过点M作MG∥AB交AD于点G，∵AD∥BC，AB∥MG，∴四边形ABMG是平行四边形，∴∠AGM=∠ABM．∵AM平分∠BAD，∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG．在△AGM与△ABM中，，∴△AGM≌△ABM，∴AB=AG=3，∴四边形ABMG是菱形，∴MC=5﹣3=2．∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，∴NF是△DCM的中位线，∴NF=MC=1．故选B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．如图，四边形OABC是矩形，四边形CDEF是正方形，点C，D在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，点F在BC上，点B，E在反比例函数y=的图象上，OA=2，OC=1，则正方形CDEF的面积为（）A．4B．1C．3D．2【分析】先确定B点坐标（2，1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2，则反比例函数解析式为y=，设AD=t，则OD=1+t，所以E点坐标为（1+t，t），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得（1+t）t=2，利用因式分解法可求出t的值．【解答】解：∵OA=2，OC=1，∴B点坐标为（2，1），∴k=2×1=2，∴反比例函数解析式为y=，设CD=t，则OD=1+t，∴E点坐标为（1+t，t），∴（1+t）t=2，整理为t2+t﹣2=0，解得t1=﹣2（舍去），t2=1，∴正方形ADEF的边长为1．故选B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．13．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：（1）以A圆心，AB长为半径画弧；（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；（3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．①四边形ABCD是中心对称图形；②△ABC≌△ADC；③AC⊥BD且BE=DE；④BD平分∠ABC．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．③④【分析】利用作法可判断ACAC垂直平分BD，则可对①③进行判断；利用"SSS"可对③进行判断；通过说明∠ABD≠∠CBD可对④进行判断．【解答】解：由作法得AB=AD，CB=CD，则AC垂直平分BD，点B与点D关于点E对称，而点A与点C不关于E对称，所以①错误，③正确；利用AB=AC，CD=CB，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC，所以②正确；由于AD与BC不平行，则∠ADB≠∠CBD，而∠ADB=∠ABD，则∠ABD≠∠CBD，所以④错误．故选B．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．14．九（1）班在以"植树节，我行动"为主题的班会上通过了平均每人植6棵树的决议：如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成每人应植树的棵树为（）A．9B．12C．10D．14【分析】要求单独由男生完成，每人应植树多少棵，就要先设出未知数，根据题中的等量关系，列方程求解．【解答】解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：+=，解得：x=10．检验得x=10是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树10棵．故选C．【点评】考查了分式方程的应用，本题为工作效率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．15．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE的正弦值．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，设AB=2a，∴AC=a，BC=a；∵△ABD是等边三角形，∴AD=AB=2a；设DE=EC=x，则AE=2a﹣x；在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a﹣x）2+3a2=x2，解得x=；∴AE=，EC=，∴sin∠ACE==．故选：B．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．16．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，O是矩形对角线交点，线段OP⊥AD，且OP=4cm，线段OP从图中位置开始，绕点O顺时针旋转一周，线段OP在矩形内部部分（包括端点）的长度y（cm）与点P走过的路程x（cm）的函数关系式可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以得到各段对应的函数图象，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，O到AD的距离为3，O到CD的距离为4，OD的长度为5，则在OP顺时针旋转的过程中，在OP⊥AD到OP⊥CD的过程中，线段OP在矩形内部部分的长度y随x的增大而增大，增大到等于OP的长度时保持不变；在OP⊥CD到OP⊥CD的过程中，线段OP在矩形内部部分的长度y由5保持一段时间不变，然后随着x的增大而减小；在OP⊥BC到OP⊥AB的过程中，线段OP在矩形内部部分的长度y随x的增大而增大，增大到等于OP的长度时保持不变；在OP⊥BA到OP⊥AD的过程中，线段OP在矩形内部部分的长度y由5保持一段时间不变，然后随着x的增大而减小．故选A．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，运用数形结合的思想解答问题．二、填空题：每小题3分，共12分．17．若x=4，则|x﹣5|=1．【分析】若x=4，则x﹣5=﹣1＜0，由绝对值的定义：一个负数的绝对值是它的相反数，可得|x﹣5|的值．【解答】解：∵x=4，∴x﹣5=﹣1＜0，故|x﹣5|=|﹣1|=1．【点评】本题考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．18．若a﹣b=﹣，则（a+1）2﹣b（2a﹣b）﹣2a=4．【分析】根据完全平方公式和单项式乘以多项式将原式展开，合并同类项后根据完全平方公式配方，最后将a﹣b=﹣整体代入求值可得．【解答】解：原式=a2+2a+1﹣2ab+b2﹣2a=（a﹣b）2+1，当a﹣b=﹣时，原式=（﹣）2+1=3+1=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查整式的化简求值能力，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及整式的运算法则是化简求值的关键．19．如图，一块含30°角的直角三角形ABC的三个顶点刚好都在一个圆上，已知弦CD与CB的夹角∠BCD=40°，BC=3，则的长度为（结果保留π）．【分析】连接OD，要求的长度，只需求出圆的半径和所对圆心角的度数即可．【解答】解：连接OD，如图．∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，∴AB是⊙O的直径，AB=2BC=6，∴OB=3．∵∠BCD=40°，∴∠BOD=80°，∴的长度为=．故答案为．【点评】本题主要考查了圆周角定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半、圆弧长公式等知识，其中圆弧长公式为l=．20．如图，已知A1，A2，…，An，An+1在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1，A2，…，An，An+1作x轴的垂线交直线y=x于点B1，B2，…，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，AnBn+1，BnAn+1，依次相交于点P1，P2，P3，…，Pn，△A1B1P1，△A2B2P2，…，△AnBnPn的面积依次为S1，S2，…，Sn，则S1=，Sn=．【分析】根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．【解答】解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，∴依题意得：B1（1，1），B2（2，2），B3（3，3），…，Bn（n，n）∵A1B1∥A2B2，∴△A1B1P1∽△A2B2P1，∴=，∴△A1B1P1与△A2B2P1对应高的比为：1：2，∵A1A2=1，∴A1B1边上的高为：，∴S=×=，同理可得：S=，S△A3B3P3=，∴Sn=．故答案为、．【点评】此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共66分．21．嘉淇同学计算a+2+时，是这样做的：（1）嘉淇的做法从第二步开始出现错误，正确的计算结果应是；（2）计算：﹣x﹣1．【分析】（1）根据分式的加减，可得答案．（2）根据分式的性质，可化成同分母分式，根据分式的加减，可得答案．【解答】解：（1）a+2+=+==，嘉淇的做法从第二步开始出现错误，正确的计算结果应是，故答案为：二，；（2）﹣x﹣1=﹣==．【点评】本题考查了分式的加减，通分是分子要加括号，以防错误．22．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．【分析】（1）先利用直角三角形的性质，求出∠BAD，再由平行得到∠ADF′即可；（2）先求出∠ADF′，再判断△ADF′≌△BDE′即可．【解答】解：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB，∴∠ADF′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°，（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，，∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．【点评】此题是旋转性质题，主要考查了旋转角，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是旋转角的计算．23．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P（m，n）为第一象限内抛物线上的一点，点D的坐标为（0，6）．（1）OB=4，抛物线的顶点坐标为（，）；（2）当n=4时，求点P关于直线BC的对称点P′的坐标；（3）是否存在直线PD，使直线PD所对应的一次函数随x的增大而增大？若存在，直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据y=0时，即﹣x2+3x+4=0，求出x的值，即可确定点A，点B坐标，即可求出OB；由抛物线的顶点式，即可确定抛物线的顶点坐标；（2）连接CP，CP′，先求出m的值，确定这时P点的坐标为（3，4），再确定点D的坐标，求出∠OCB=45°=∠BCP，从而确定点P′在y轴上，且CP′=CP=3，即可解答．（3）存在，根据直线PD所对应的一次函数随x的增大而增大，所以一次函数的图象一定经过一、三象限，即可得到1＜m＜2．【解答】解：（1）当y=0时，即﹣x2+3x+4=0，解得：x1=4，x2=﹣1，∴点A（﹣1，0）点B（4，0），∴OB=4，y=﹣x2+3x+4=，∴抛物线的顶点坐标为（，），故答案为：4，（，）．（2）如图，连接CP，CP′，n=4时，﹣m2+3m+4=4，解得：m1=3，m2=0（舍去），∴这时P点的坐标为（3，4），∵OC=4，∴CP∥x轴，CP=3，∵点C的坐标为（0，4），∴OB=OC=4，∴∠OCB=45°=∠BCP，∴点P′在y轴上，且CP′=CP=3，∴P′的坐标为（0，1）．（3）存在，∵点D的坐标为（0，6），∴当y=6时，﹣x2+3x+4=6，解得：x1=1，x2=2，∵直线PD所对应的一次函数随x的增大而增大，∴一次函数的图象一定经过一、三象限，∴1＜m＜2．【点评】本题考查了二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、一次函数的性质、点的对称，解决本题的关键是熟记二次函数的性质、一次函数的性质．24．经销商经销某种农产品，在一个销售月内，每售出1吨该产品获利500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．根据历史资料记载的20个月的销售情况，得到如图所示的销售月内市场需求量的频数分布直方图．经销商为下一个销售月购进了130吨该农产品，以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售月内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售月内经销该农产品的利润．完成下列问题：（1）根据直方图可以看出，销售月内市场需求量的中位数在第③组．（2）当100≤x≤150时，用含x的代数式或常数表示T；（3）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【分析】（1）根据中位数定义，20个数据中位数取第10、11个数据的平均数；（2）分两种情况：100≤x＜130、130≤x≤150分别根据利润=毛利润﹣因产品未售出亏损总费用、总利润=单件利润×销售量，列函数关系式；（3）由（2）可求得利润不少于57000元时x的范围，结合直方图可确定在此范围内的频数，进而求得频率即概率．【解答】解：（1）一共20个数据，中位数是第10、11个数据的平均数，由图可知第10、11个数据均落在第③组，故销售月内市场需求量的中位数在第③组；（2）当100≤x＜130时，T=500x﹣300（130﹣x）=800x﹣39000；当130≤x≤150时，T=500×130=65000；（3）由题意可知，800x﹣39000≥57000，解得：x≥120，所以当120≤x≤150时，利润不少于57000元，根据直方图估计月内市场需求量120≤x≤150的频数为6+5+3=14，则估计月内市场需求量120≤x≤150的频率为14÷20=0.7，所以估计利润不小于57000元的概率为0.7．故答案为：（1）③．【点评】本题主要考查频数（率）分布直方图的应用及函数解析式求法、频率估计概率等，解题时注意频（数）率分布直方图的合理运用．25．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m=95，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）先求出m=95时，y2与x之间的函数关系式，再根据：总利润=销售量×（售价﹣成本）列出函数关系式，配方后根据二次函数性质可得其最值情况；（3）用含m的式子表示出y2与x之间的函数关系式，根据：总利润=销售量×（售价﹣成本）列出函数关系式，再结合60＜m＜70判断其最值情况．【解答】解：（1）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1，根据题意，得：，解得：，∴y1与x之间的函数关系式为y1=﹣x+60（0＜x≤120）；（2）若m=95，设y2与x之间的函数关系式为y2=k2x+95，根据题意，得：50=120k2+95，解得：k2=﹣，这个函数的表达式为：y2=﹣x+95（0＜x≤120），设产量为xkg时，获得的利润为W元，根据题意，得：W=x[（﹣x+95）﹣（﹣x+60）]=﹣x2+35x=﹣（x﹣84）2+1470，∴当x=84时，W取得最大值，最大值为1470，答：若m=95，该产品产量为84kg时，获得的利润最大，最大利润是1470元；（3）设y=k2x+m，由题意得：120k2+m=50，解得：k2=，这个函数的表达式为：y=x+m，W=x[（x+m）﹣（﹣x+60）]=x2+（m﹣60）x，∵60＜m＜70，∴a=＞0，b=m﹣60＞0，∴﹣＜0，即该抛物线对称轴在y轴左侧，∴0＜x≤120时，W随x的增大而增大，当x=120时，W的值最大，故60＜m＜70时，该产品产量为120kg时，获得的利润最大．【点评】本题主要考查待定系数求一次函数解析式及二次函数的实际应用能力，根据相等关系列出函数关系式，熟练根据二次函数的性质判断函数的最值情况是解题的关键．26．如图，∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4，点P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），点O是△BPQ的外心．（1）如图1，当OB⊥AM时，点O在∠MAN的平分线上（填"在"或"不在"）；（2）求证：当点P在射线AN上运动时，总有点O在∠MAN的平分线；（3）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=m，用m表示ACAO；（4）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．【分析】（1）先求得∠BOP=120°，在四边形ABOP中依据四边形的内角和是360°可求得∠APO的度数，然后依据角平分线的逆定理证明即可；（2）连接OB、OP、OA，由∠A=60°，∠BOP=120°，可证明A、B、O、P四点共圆，然后依据同圆和等圆中相等的弦所对的圆周角相等可得到∠BAO=∠PAO；（3）连接OB、OP、AO．先证明△ABO∽△ACP，由相似三角形的性质可知ACAO=ABPA，从而可求得答案；（4）如图4所示：当点P与点D重合时．先证明三角形AOB为直角三角形，然后依据特殊锐角三角函数值可求得AO的长；如图5所示：当点A与点P重合时．先证明△AOD为直角三角形，然后依据特殊锐角三角函数值可求得AO的长；如图6所示：证明∠OBD=∠ABD=30°，从而得到点A与点O重合．【解答】解：（1）在．理由：如图1所示：连接OP．∵点O为等边△BQP的外心，∴∠BOP=2∠BQP=120°，OB=OP．∵OB⊥AM，∴∠ABO=90°．∵∠A+∠ABO+∠BOP+∠OPA=180°，∴∠OPA=90°．∴OP⊥AN．∵OP=OB，OP⊥AN，OB⊥AM，∴点O在∠MAN的平分线上．（2）当点A与点P不重合时，如图2所示：连接OB、OP、OA．∵点O是等边三角形BOQ的外心，∴∠BOP=120°，OP=OB．∵∠BAP=60°，∴∠BAP+∠BOP=180°．∴点A、B、O、P共圆．又∵OB=OP，∴∠BAO=∠PAO．∴点O在MAN的角平分线上．当点P与点A重合时．∵点O是等边三角形BOQ的外心，∴PO平分∠BPQ．∵∠BPQ与∠MAN重合，∴∠PO平分∠MAN．综上所示，总有点O在∠MAN的平分线．（3）如图3所示：连接OB、OP、AO．∵由（2）可知点B、O、P、A共圆，∴∠BOA=∠BPA．∵AO平分∠MAN，∴∠BAO=∠PAO．∴△ABO∽△ACP．∴．∴ACAO=ABPA．∴ACAO=4m．（4）如图4所示：当点P与点D重合时．∵∠BAP=60°，BA=4，AD=2，∴BP⊥AP．∴∠BPA=90°．又∵∠PAC=∠MAN=30°，∴∠OCB=∠ACP=60°．∵O为等边三角形的外心，∴∠OBC=30°．∴∠BOC=90°．在Rt△AOB中，OA=AB=2．如图5所示：当点A与点P重合时．∵∠BAD=60°，BA=4，AD=2，∴BD⊥AQ．∴∠BDA=90°．∵在Rt△AOD中，∠DAO=30°，AD=2，∴AO=AD÷=2×=．如图6所示：∵∠BAD=60°，BA=4，AD=2，∴BD⊥AN．∴∠BDA=90°．∴∠ABD=30°∵O为△BPQ的外心，∴∠OBD=30°．∴点A与点O重合．∴OA=0．综上所述，OA=2或OA=或AO=0．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了相似三角形的性质和判定、四点共圆、角平分线的判定定理、三角形的外心的性质、圆周角定理的，画出符合题意的图形，并恰当作出辅助线是解题的关键．