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免费苏州市2017年中考数学《对称图形—圆》拓展课本例题中考数学要点分类汇编网拓展课本例题 演绎中考精彩课本例题、习题是经过专家精心遴选的，具有典型性、示范性的题目，而且具有可拓展的功能.从学生认知思维的最近发展区域，以课本习题为原型，从题设、结论及图形结构全方位、多角度的探究与联想，挖掘其蕴藏的深层内涵，可以引导学生深刻领悟解决问题的策略，优化思维品质，提升数学的思维水平.本文以苏科版《数学》九年级《对称图形--圆》中的一道习题为例，诠释如下.引例  如图1， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上的一点， 垂直于过点 的切线，垂足为 ，则 平分 .变式拓展1  将习题的条件--⊙ 切线与结论--角的平分线交换，构造其逆命题，附加某些线段的长度计算圆中弦长或阴影部分的面积.例1  (2016年黄石中考题)如图2, ⊙ 的直径为 ，点 在圆周上(异于 ， ) ， .(1)若 ， ，求 的值;(2)若 是 的平分线，求证:直线 是⊙ 的切线.分析  (1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理便可求得 的长.(2)连结 ，证 即可;利用角平分线的性质和等边对等角，可证得 ，即可得到 .由于 ，那么 ，由此得证.解  (1) ∵ 是⊙ 的直径，点 在⊙ 上在 中， ， ,∴由勾股定理，得 .(2)如图3，连 结.， ,又 是 的角平分线，,， ,又 ， ,是⊙ 的切线.评注  此题要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.例2  (2016年咸宁中考题)如图4，在 中， ， 的平分线交 于点 ，点 在 上，以点 为圆心， 为半径的圆恰好经过点 ，分别交 ， 于点 ， F.(1)试判断直线 与⊙ 的位置关系，并说明理由;(2)若 ， ，求阴影部分的面积(结果保留 ).解析  (1)  与⊙ 相切，理由略.(2)设⊙ 的半径为 ,则 ， .由(1)知 ,，即 ，解得 ,， .于是有.评注  本题将阴影部分(不规则图形)的面积转化为规则图形(可求面积)面积的和或差( )，这是解决此类问题的关键.变式拓展2  将⊙ 换成半圆，并延长切线与直径使之相交，形(图形结构变化)变而神(条件、结论)不变.例3  (2016年黄冈中考题)如图5， 是半圆 的直径，点 在 的延长线上， 切⊙ 于点 ， ，垂足为 ，连结 .(1)求证: ;(2)求证: .分析  (1)连结 ，由 为圆 的切线，利用切线的性质，得到 垂直于 .由 垂直于 ，得到 与 平行，利用两直线平行得到一对内错角相等;再由 ,利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证.(2)连结 ，由 为圆 的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到 为直角三角形.根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出 与相似，由相似得比例，变形即可得证(证明略).变式拓展3  添加 中的锐角三角形函数值，探究⊙ 的弦 分 所成的线段的比值.例4  (2016年武汉中考题)如图6，点 在以 为直径的⊙ 上， 与过点 的切线垂直，垂足为点 ， 交⊙ 于点 .(1)求证: 平分 ;(2)连结 交 于点 ，若 ，求 的值.解析  (1)因为 是⊙ 的切线，根据"有切点连半径"，我们可以连接半径 ，根据"切线垂直于过切点的半径"，所以又 ， ,,又 ， ,,所以 平分 .(2)连结 ，在 中,由 ，可设 ,则 ， ,由 ， 可得， ,.由 ， 可得 ,， ,,.评注  本题的第(2)问也可以通过 ，求出直径 (用 表示)，进而得到半径 ，利用四边形 ( 是 与 的交点)是矩形，得到 .进而根据勾股定理求出 ，在根据三角形中位线求出 ，最后得到 ，将 的值转化为 来求.变式拓展4  丰富课本习题的图形的结构，并添加相关条件，继续深化探究问题的结论例5  (2016年孝感中考题)如图7，在 中， ，点 在 上，经过点 的⊙ 与 相切于点 ，与 ， 分别相交于点 ， ，连结 与 ，相交于点 .(I)求证: 平分 .(2)若 于点 ， 平分 ， .①试判断 与 的数量关系，并说明理由;②求⊙ 的半径.分析  (1)略.(2)①∵ 平分 ,,又 ,,即 ， ；① 设 ,则 .， ,， ,,， ,， ， .为直径， ..∴⊙ 的半径为 .评注  本题将课本中相关习题与例题融合在一起，使图形的结构变得更加复杂，这就需要我们学会能够从复杂图形中分离出基本图形的技能，从而利用简单图形的性质解决问题.从上述对课本习题与中考试题的对比分析中可以发现，许多中考试题源于课本，高于课本.这就启发我们在平时的学习中，要立足于课本，在学好基础知识，掌握基本技能和方法的基础上，多角度挖掘开发例习题中蕴含的丰富内涵，学会对自己已解决的问题进行反思、联想、总结.一方面反思问题的解题思路能否能迁移;另一方面反思题目的条件与结论之间的因果关系能否交换，命题的条件能否更换，结论能否拓展，图形的结构能否改变等，从而深化对问题的理解，提高观察问题、分析问题、自主探究问题的创新思维能力.