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2019年中考《二次函数与一元二次方程的关系》同步练习_二次函数解题技巧图象和性质_二次函数与其字母系数课题15二次函数与一元二次方程的关系A组基础题组一、选择题1.(2018沧州模拟)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()A.没有交点B.只有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧2.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0,x2=6 B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=-7 D.x1=-1,x2=73.(2018石家庄赞皇模拟)根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的自变量x与函数y的对应值,判断ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为()x 1.43 1.44 1.45 1.46y=ax2+bx+c -0.095 -0.046 0.003 0.052A.1.40<x<1.43 B.1.43<x<1.44C.1.44<x<1.45 D.1.45<x<1.464.(2017邯郸模拟)已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,其中抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),若y<0,则x的取值范围是()A.-1<x<4 B.-1<x<3C.x<-1或x>4 D.x<-1或x>35.抛物线y=2x2-2√2x+1与坐标轴的交点个数是()A.0 B.1C.2 D.36.(2018邢台宁晋模拟)若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1,x2=2,那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线()A.x=1 B.x=2C.x=3/2 D.x=-3/27.(2017唐山模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,下列结论正确的是()A.b2>4acB.ac>0C.a-b+c>0D.4a+2b+c<0二、填空题8.(2018廊坊模拟)二次函数y=1/3x2-x-2的图象如图所示,那么关于x的方程1/3x2-x-2=0的近似解为.(精确到0.1)9.(2018邯郸邯山模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为.10.(2017保定莲池一模)已知抛物线y=ax2-4ax与x轴交于点A,B,顶点C的纵坐标是-2,那么a=.11.(2018孝感中考)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是.三、解答题12.(2018杭州中考)设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由.(2)若该二次函数图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.B组提升题组一、选择题1.(2018陕西中考)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.(2017浙江杭州中考)设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,设x=m,下列说法正确的是()A.若m>1,则(m-1)a+b>0B.若m>1,则(m-1)a+b<0C.若m<1,则(m+1)a+b>0D.若m<1,则(m+1)a+b<03.(2018唐山丰南二模)"如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根."请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m,n(m<n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根,且a<b,则a,b,m,n的大小关系是()A.m<a<b<n B.a<m<n<bC.a<m<b<n D.m<a<n<b二、填空题4.(2018廊坊模拟)根据下列表格的对应值,判断ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的近似值是(精确到0.1).x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.095.(2018张家口模拟)已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4),B(8,2).如图所示,则能使y1>y2成立的x的取值范围是.6.(2018湖州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是.三、解答题7.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为3/4m,到墙边OA的距离分别为1/2m,3/2m.(1)求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案?答案精解精析A组基础题组一、选择题1.D当y=0时,ax2-2ax+1=0,∵a>1,∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,则ax2-2ax+1=0有两个根.∵1/a>0,且-("-"2a)/2a=1,∴方程的两根均为正,即函数图象与有两个交点且交点均位于y轴右侧.2.D∵二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=3,∴-m/2=3,解得m=-6,∴关于x的方程x2+mx=7即为x2-6x-7=0,即(x+1)(x-7)=0,解得x1=-1,x2=7.3.C由表可以看出,当x取1.44与1.45之间的某个数时,y=0,即这个数是ax2+bx+c=0的一个根.∴ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.44<x<1.45.故选C.4.B由图象知,抛物线与x轴交于(-1,0),对称轴为x=1,∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0).∵y<0时,函数的图象位于x轴的下方,且当-1<x<3时函数图象位于x轴的下方,∴当-1<x<3时,y<0.5.C6.C7.A由题图知抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确;∵抛物线开口向下,∴a<0,因抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,则ac<0,B错误;∵抛物线过点A(3,0),对称轴是直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),则a-b+c=0,C错误;易知当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,D错误.二、填空题8.答案x1=-1.4,x2=4.4解析观察函数图象,可知1/3x2-x-2=0的两个根分别在-2与-1、4与5之间,解得{■(x_1=3/2"-"√33/2","@x_2=3/2+√33/2",")┤利用计算器进一步计算,可得x1在-1.37与-1.38之间,x2在4.37与4.38之间,∴方程1/3x2-x-2=0的两个近似根是4.4或-1.4.9.答案2解析∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,∴-b/2a=1,则-b/a=2,∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为-b/a=2.10.答案1/2解析y=ax2-4ax=a(x2-4x+4)-4a=a(x-2)2-4a,则顶点坐标是(2,-4a),∴-4a=-2,解得a=1/2.11.答案x1=-2,x2=1解析∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),∴方程组{■(y=ax^2","@y=bx+c",")┤的解为{■(x="-"2","@y=4",")┤{■(x=1","@y=1",")┤即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2,x2=1,∴方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.三、解答题12.解析(1)根据题意,Δ=b2-4·a[-(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2,∵(2a+b)2≥0一定成立,∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个.(2)对于二次函数y=ax2+bx-(a+b),∵当x=1时,y=a+b-(a+b)=0,∴抛物线y=ax2+bx-(a+b)不经过点C,而一定经过点A,B.把点A(-1,4),B(0,-1)分别代入,得{■(4=a"-"b"-("a+b"),"@"-"1="-("a+b"),")┤解得{■(a=3","@b="-"2".")┤∴抛物线解析式为y=3x2-2x-1.(3)当x=2时,m=4a+2b-(a+b)=3a+b>0①;∵a+b<0,∴-a-b>0②.①②相加,得:2a>0.∴a>0.B组提升题组一、选择题1.C把x=1,y>0代入解析式,得:a+2a-1+a-3>0,解得a>1.∴抛物线的顶点的横坐标为x=-(2a"-"1)/2a<0,纵坐标为(4a"("a"-"3")-("2a"-"1")"^2)/4a=("-"8a"-"1)/4a<0,∴这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2.C∵直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象的对称轴,∴当x=1时,函数取得最大值,且ymax=a+b+c.∵当x=m(m≠1)时,y=am2+bm+c,∴a+b+c>am2+bm+c,即a(m2-1)+b(m-1)<0,整理得(m-1)[(m+1)a+b]<0,∴当m<1时,(m+1)a+b>0;当m>1时,(m+1)a+b<0.故选C.3.A∵m,n(m<n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根,∴二次函数y=(x-a)(x-b)-1的图象与x轴交于点(m,0),(n,0).将y=(x-a)(x-b)-1的图象往上平移一个单位可得二次函数y=(x-a)(x-b)的图象,二次函数y=(x-a)(x-b)的图象与x轴交于点(a,0),(b,0).画出两函数图象的草图如图所示,观察函数图象可知m<a<b<n.故选A.二、填空题4.答案3.2解析∵当x=3.24时,y=-0.02;当x=3.25时,y=0.03,∴方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是3.24<x<3.25.由于-0.02比0.03更接近于0,∴x的近似值为3.24≈3.2.5.答案x<-2或x>8解析∵由函数图象可知,当x<-2或x>8时,一次函数的图象在二次函数的下方,∴能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.6.答案-2解析∵四边形ABOC是正方形,∴点B的坐标为("-"b/2a",-"b/2a).∵抛物线y=ax2过点B,∴-b/2a=a("-"b/2a)^2,解得:b1=0(舍去),b2=-2.故答案为-2.三、解答题7.解析(1)由题意可知,B(1/2","3/4),C(3/2","3/4),代入y=ax2+bx得{■(1/4a+1/2b=3/4","@9/4a+3/2b=3/4",")┤解得{■(a="-"1","@b=2".")┤∴y=-x2+2x.∴此抛物线顶点的纵坐标为(4×"(-"1")"×0"-"2^2)/(4×"(-"1")")=1.答:该抛物线的函数关系式是y=-x2+2x,图案最高点到地面的距离是1m.(2)当y=0时,-x2+2x=0,∴x1=0,x2=2,x2-x1=2,∴10÷2=5(个).答:最多可以连续绘制5个这样的抛物线形图案.