第三章 教学启示

一．复数教学过程中，教师要多加关注学生已有的经验

与高一低成绩组学生的访谈，发现他们建构复数内有关概念及其运算时，经常会受到实数内经验的干扰，比如绝对值对复数模的负迁移；由x²+y²=0（x，y?R）x=y=0引起的负迁移；由（x^m）ⁿ（x?R⁺且m，n?R）引起的负迁移等。教师在教学中要重视学生以往经验对数学学习的作用，了解学生已有的认知结构及其建立的背景，适当介绍数系扩张的原则，讲清概念及法则、公式、定理成立的条件，并且向学生强调在实数内成立的法则、公式、定理及其它一些性质，未经证明，不能在复数范围内使用。在学生容易发生错误的地方，抓住典型，将错就错，搞好错例分析，亡羊补牢。比如，初学者经常将复数的模当作实数的绝对值，教师要善于从错例出发，指导学生分别从代数形式和几何意义上比较两者的异同，使学生理解复数的模在代数形式上就是绝对值|a|=的推广和延伸；在几何意义上，模是复数在复平面内对应的点到原点的距离，绝对值是实数在数轴上对应的点到原点的距离，从绝对值到模是从一维到二维的关系，使得学生看出两者是特殊和一般的关系。为了让学生经历“复数的模”的概括全过程，教师就应该引导他们将模纳入到已有的数的绝对值概念系统中去。从而能够缩短新知识和旧知识的“潜在距离” ^[20]，促使学生将模和绝对值进行同化，完成新知识的建构。

二．在解决问题过程中培养学生的复数应用意识

对三个年级低成绩组学生的实证研究表明，复数是学生最容易遗忘的内容之一。特别是高二低成绩组的问题解决情况并不明显好与高一低成绩组，在个案调查中，当要求写出“复数的意义”时，高二和高三低成绩组中有些学生回答：“复数就是那个带i的数，具体的好象有点记不清了”。很多学生针对数的发展，对复数概念的理解只是停留在识记层面，时间长了，就容易忘记。再加上复数与之有联系的实际资料比较少，学生遗忘得就更快。在调查中高三有一位学生就说：“复数中i好象没有什么现实意义，所以我不太记得住这些概念”，在教学中，教师要善于挖掘、编拟能够联系实际意义的复数问题，加强教学与现实世界的密切联系，一方面有利于学生为理解复数中的概念而能够找到一些表象，Bruner（1964）就认为从实物操作到符号操作需要借助表象作为重要中介^[28]，缩短概念的建构过程；另一方面使学生经历数学化，数学建模这些生动的数学活动过程，有利于学生用数学的观点和方法去处理日常生活中的实际问题，培养他们数学的应用意识，提高对数学的认识。例如，浙江省诸暨市天马实验学校的金兔老师在课堂中就曾提出这样的一个问题：某人在宽广的被雪覆盖的某校大操场上自由漫步，向某一方向走a米后向左转α（0<α<π）角，再向前走a米后再向左转α角，如此下去，试探究：（1）该人能回到原地的条件；（2）在该人能回到原地的条件下，试探究各种角度α下的路径。班级30位同学通过合作交流发现与复数相似的背景，得到复数三角形式的解法：设出发点为O点，第一次走a米到达A₁点，第二次走a米到达A₂点，第n次走a米到达A_n点，建立平面直角坐标系，使O为坐标系的原点，A₁点在x轴的正半轴上，且以1米为单位长度，则向量对应的复数为：a+a（cosα+isinα）+…+a（cosα+isinα）^n-1=a×=a×，当且仅当1-（cos（nα+isin（nα））=0，得到nα=2kπ（k∈N）… ^[17]。学生通过操作、活动、过程体会到复数应用的实际背景，加深了对复数中模和辐角等概念的直观理解，从而为理解复数的结构化特征打下了基础。

三．注重培养学生在问题解决过程中发展符号感

国家新的课程标准课程目标强调让学生经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维^[15]。在数学中一切进步都是引入符号（表意符号）后的反响。复数的形式很多（代数形式a+bi，a，b?R，三角形式r（cosq+isinq），点的形式（a，b），向量形式，整体形式z，z?C，甚至还有指数形式），用各种形式的符号来描述和呈现复数是一种有效获得对概念本身或问题背景深入理解的方法，它不仅可以加强对概念理解，而且也是解决问题的重要策略。能够把复数的一种形式表示成另一种形式，在几种形式之间进行转换，这些形式虽然符号表示不同，却具有相同的结构，有利学生掌握概念的本质。当然，由前面的调查分析知道，学生对复数几种形式的认识并不是直线式的发展的，而是螺旋式地上升的，在教学中，我们不应当要求学生在接触复数的几种形式的符号表示或者模的概念时，能够一次性地完成认识，正确看待他们概念理解过程中的错误表现，指导他们在认识中时刻注意反思，例如，通过向量形式中的模和三角形式中的模的符号及含义的比较可以进一步加深对复数模的理解，从而也能更好地领会模在向量和三角表示中的地位和作用，完成由点到面的建构，学生通过螺旋往返式的认识和再认识，实行对概念进一步的同化和顺应。上海市高中数学学科课程标准将复数内容分设在高一和高三教材中，其目的也是采取螺旋式发展的方法，让学生有机会在概念整体发展的过程中进行多次接触，经常返首回顾，前后联系，这样将更有利于复数及其概念的理解和掌握。笔者在调查中发现，有些教师在高一教复数模的概念时，一下子将模的几何意义、向量形式全部呈现给学生，企图让学生全面、彻底地从意义到符号上理解和应用复数的模，但是往往事与愿违，在调查中，发现高一学生（特别是学习困难的学生）不能深入利用模的几何意义解决问题，只是机械地记住模好象是表示一个圆，只了解复数符号的表面含义。究其原因，学生对复数的每一种形式的建构有个过程，只有经过一定程度的操作，才能从一种形式的认识过渡到另一种形式，而且这种操作活动会随着学生的差异而经历的时间不一样。另外，处于高一阶段的学生，其形式运算能力还没有得到充分的发展，其分析、比较能力还比较弱，对于一下子所呈现的复数的几种形式，只能从形式符号上死记，缺乏对其深刻的理解，随着时间的推移，遗忘得也快。所以，在教学中，为了使学生真正理解符号所表示的复数各种形式的意义，培养学生的数感，最好还是先教复数、模等概念的代数符号表示，让学生经过充分的理解，将其纳入到自己的知识网络中，再教复数的几何意义和其它形式表示，这样既有利于学生进行各种形式的比较，又能够减少一种形式对另一种形式的负迁移，从而使得学生有效地建构起自己的知识图式。

四．注重加强学生复数学习的过程体验

APOS理论强调用数学的方法组织和建立数学概念，让学生通过活动亲身经历、体验完整的学习过程^[18]，这样建立的数学概念有着丰富的内涵，其中包含概念的抽象过程、数学思想方法和概念的形式化，而在实际教学中，我们有不少老师往往是将数学概念作为一个事先建造好的逻辑体系展示给学生或者按照逻辑体系提出数学问题，这样学生对概念的形成过程没有经过充分的体验，其数学概念的建立是靠教师直接或间接的代替进行快体验、快抽象，而过快的抽象过程只能使得一部分优秀生进行有意义的学习，却难以引起一些困难生的有效学习活动，而只能死记硬背运算法则，甚至就会出现诸如“|a+bi|=的错误。由教师代替学生快抽象出复数的有关概念和性质，比如，老师讲完模|z|的概念就将有关模的性质（|z₁z₂|=|z₁||z₂|等）呈现给学生，容易使得学生（特别是中等以下的学生）的学习活动不连贯，没有经过充分的“过程”、“活动”，就体会不到其中的结构特征，这样建构的模的概念缺乏完整性，使得他们概念的的发展难以达到对象化，从而出现了象“|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|”之类的错误。所以教师在教学中要意识到：一个数学概念由“过程”到“对象”的建立往往既是困难的又是漫长的，其中必须经过多次的反复，是螺旋式的上升，而不是直线的前进，甚至会出现短暂的倒退（例如本实验中高二低成绩组学生掌握复数概念的情况还不如高一来得好），教师认识到这一规律，要帮助学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象，不断注意指导他们用简洁的符号来表示复数及其有关概念，描述其性质，适当的时候推动向对象化发展。

参考文献：

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[28] Bruner.J.S(1964).Some theorem on instruction illustrated with reference to Mathematics.In E.R Hilgard(Ed.),Theories of learning and Instruction Chicago:university of Chicago Press

附录一：访谈问题

1． 请你写出复数模的含义。

2． 已知复数z满足|z+1|=1，求|z-1|的取值范围。

3． 已知复数z满足|z+2+3i|²+|z-2-3i|²=40，求|z|。

4． 已知x∈R，z∈C，x、z满足x²+zx+3z+4i=0，求z。

5． 对n∈N，令S_n为的最小值，其中a₁，a₂…a_n∈R⁺，其和为17，若存在唯一的n使S_n也为整数，求n。

1． 对于任何复数z₁和z₂，证明：|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2（|z₁|²+|z₂|²）。

2． 判断以下几个复数“z=-3（cos+isin），z=3（cos-isin），z=3（sin-i cos）”是否为复数三角形式？说明理由，如果不是三角形式，那么请你将其化成三 角形式。

3． 已知复数z满足|z|=1，求|z²-z+2|最小值。

附录二：<<复数三角形式>>单元测验试卷

班级 姓名 学号 成绩__________

一．填空题：

1．复数-i的三角形式是____________。

2．复数sin40⁰-icos40⁰的辐角主值是__________。

2． 若复数z=（a+i）²（a∈R）的辐角的主值是，则a=_________。

3． 若α=arg(2+i),β=arg(-3+i),则α-β=___________。

4． 复数z=1+sinα+icosα(0<α<)的辐角主值等于__________。

5． 若复数Z适合|Z-3i|≤2，则|Z|的最大值是_________，argZ的最大值是________。

6． 设z为复数，|z|≤1，w=z-2i，则argw的取值范围是_________。

7． 计算7-24i的平方根结果为__________。

8． 在复数集中，方程|x|=1-x+3i的解集是_________。

10．设复数z=cos+isin，是z的共轭复数，则=_________。

二．选择题：

11．复数icos150⁰的一个辐角是 （ ）

（A）240⁰；（B）150⁰；（C）90⁰；（D）-90⁰

12．已知|z-2i|=1，当z的辐角主值取得最大值时，复数是 （ ）

（A）-+i；（B）--i；（C）-+i；（D）--i

13．复平面上点Z₁，Z₂分别对应复数z₁=1，z₂=3i，将向量绕点Z₁逆时针旋转90⁰得向量，则点Z₃对应的复数z₃为 （ ）

（A）-3-i；（B）3+i；（C）3+4i；（D）-2-i

14．设向量对应复数-2+4i，把按顺时针方向旋转60⁰，得到，则与向量对应的复数是 （ ）

（A）-3-i；（B）+5i；（C）-2-4i；（D）2+4i

三．解答题：

15．复数与2+4i的积为2-16i,复数满足=7-17i，设复数的辐角主值是α，复数的辐角主值是β，求α+β。

16．设复数z满足4z+2=3+i，=sinθ-icosθ，求z的值和|z-|的取值范围。

17．已知方程x²+(4+i)x+4+ai=0 (a∈R)有实根b，且z=a+bi，求复数(1-ci) (c>0)的辐角主值的取值范围。

18．设z=cosθ+isinθ，θ∈(0,2л),w=(w≠0),

（1） 求|w|的取值范围；

（2） 求argw。

19．设虚数z₁、z₂满足z₁²=z₂，

（1） 若z₁、z₂又是一个实系数一元二次方程的二个根，求z₁、z₂；

（2） 若z₁=1+mi(m>0,i为虚数单位)，=z₂-2， 的辐角主值为θ，求θ的取值范围。

20．若z=cosα+i(1-sinα),α∈

（1） 求|z|的取值范围；

（2） 若u=z²-2iz+1，求复数u在复平面上对应点P的轨迹方程；

（3） 求argu的取值范围。

作品

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