数学探索型试题分类解析 - 免费教育资源网

条件不完备和结论不正确是探索型试题的基本特征．解答探索型试题必须通过分析判断、演绎推理、联想转化、猜想验证等方式去寻求解题途径．

一、探索条件型试题

这类试题的特点是：给出问题的结论，要求探索使问题成立的充分条件，使条件完备．

例１给定三条直线l₁：４ｘ＋ｙ＝４，ｌ_２：ｍｘ＋ｙ＝０，ｌ_３：２ｘ－３ｍｙ＝４．当ｍ为何值时，三条直线不能围成三角形？

解析（１）若三条直线共点，由4x+y=4；mx+y=0 解得交点的坐标为（4/4-m，4m/m-4 ）．代入ｌ３的方程得２·（4/4-m）－３ｍ·（4m/m-4）＝４．解得ｍ＝2/3或ｍ＝－１．

（２）若两直线平行，则由ｌ_１∥ｌ_２得＝１， ∴ ｍ＝４；由ｌ_１∥ｌ_３得＝1/-3m，∴ ｍ＝－1/6；由ｌ_２∥ｌ_３得＝－1/3m，方程无解．

由（１）、（２）知，当ｍ＝2/3、－１、４、－1/6时，三条直线不能围成三角形．

例２已知模相等的两个复数ｚ１＝２－√ａ＋ａｉ与ｚ２＝√3ｂ－１＋（√3－ｂ）ｉ．实数ａ、ｂ取什么值时，才能满足ａｒｇ（z2：z1）=∏/2？

解析由ａｒｇ（z2：z1）＝知ａｒｇｚ２－ａｒｇｚ１＝∏/2．

又∵｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜， ∴ ｚ２＝ｚ_１ｉ，即√3ｂ－１＋（√3－ｂ）　ｉ＝（２－√3ａ＋ａｉ）ｉ．

由复数相等的定义得（祥见第七期学习版）

解得ａ＝ｂ＝（√3-1）/2．

故当ａ＝ｂ＝0.5（√3-1）　时，ａｒｇ＝（z2：z1＝∏/2．

二、探索结论型试题

这类试题的特点是：给出问题的全部条件后，没有给出确定的结论或者只给出问题的对象的一些特殊关系，需要探索一般的规律．解这类试题需要利用已知条件或者图形特征，进行大胆推测，发现规律，获得结论．

例３三个数之积为－８，这三个数适当排列可成等比数列，也可排成等差数列．求由这三个数排成的等差数列．

解析由题意可设这三个数分别为－2/q、－２、－２ｑ．

（１）若－２为－2/q和－２ｑ的等差中项，则－2/q＋（－２ｑ）＝－４/q， ∴ ｑ＝１．此时，这三个数排成的等差数列为－２，－２，－２．

（２）若－2/q为－２和－２ｑ的等差中项，则－２－２ｑ＝－4/q．解得ｑ＝１或ｑ＝－２． ∴ 这三个数排成的等差数列为－２，－２，－２或－２，１，４或４，１，－２．

（３）若－２ｑ为－2/q和－２的等差中项，则－2/q－２＝－４ｑ，∴ ｑ＝１或ｑ＝－0.5．此时这三个数排成的等差数列为－２，－２，－２或４，１，－２或－２，１，４．

综上所述，所求的三个数排成的等差数列为－２，－２，－２或－２，１，４或４，１，－２．

三、探索存在性型试题

这类试题的特点是：给出问题的一定条件后，要求判断某种数学对象是否存在并加以证明．解这类试题需要把握已知条件的特征，挖掘知识间的内在联系，通过比较、分析、联想后，获得结论．

例４是否存在实数ａ，使ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ_２（ｘ＋√x²+2）－ａ为奇函数，并且使ｇ（ｘ）＝ｘ[（1/ax-1）＋ａ]为偶函数？

解析假设满足条件的实数ａ存在，则由ｆ（ｘ）为奇函数得ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝０． ∴ ｌｏｇ_２（ｘ＋√x²+2）－ａ＋ｌｏｇ_２（－ｘ＋√x²+2）－ａ＝０， ∴ｌｏｇ_２（ｘ^２＋２－ｘ^２）－２ａ＝０， ∴ ａ＝0.5．

由ｇ（ｘ）为偶函数得ｇ（ｘ）－ｇ（－）ｘ＝０，∴ ｘ[（1/a^x-1）＋ａ]＋ｘ（1/a^-x-1）＋ａ）＝０， ∴ ｘ（２ａ－１）＝０，∴ ａ＝0.5．

综上所述，满足条件的实数ａ存在．

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