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2016年中考数学模拟专题演练详解：开放探究问题专题二开放探究问题A组2015年全国中考题组一、选择题1.(2015·上海，8，4分)如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是()A．AD＝BD B．OD＝CDC．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB解析∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD＝DB.当DO＝CD时，则AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．答案B2．(2015·山东日照，4，3分)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形(如图)．现有下列四种选法，你认为其中错误的是    ()A．①② B．②③ C．①③ D．②④解析A．∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项不符合题意；B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项符合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项不符合题意．答案B3．(2015·湖南永州，5，3分)如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是 ()A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·ACD.ADAB＝ABBC解析A．∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B．∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C．∵AB2＝AD·AC，∴ACAB＝ABAD，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D.ADAB＝ABBC不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．答案D二、填空题4．(2015·四川攀枝花，14，4分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为________．解析∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10.∵D为OA的中点，∴OD＝AD＝5.①当PO＝PD时，点P在OD的垂直平分线上，∴点P的坐标为(2.5，4)；②当OP＝OD时，如图1所示：则OP＝OD＝5，PC＝3，∴点P的坐标为(3，4)；③当DP＝DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED＝90°，DE＝52－42＝3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE＝5－3＝2，∴点P的坐标为(2，4)；当E在D的右侧时，如图3所示：OE＝5＋3＝8，∴点P的坐标为(8，4)；综上所述：点P的坐标为：(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)．答案(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)5．(2015·山东烟台，15，4分)如图，直线l：y＝－12x＋1与坐标轴交于A，B两点，点M(m，0)是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为________．解析在y＝－12x＋1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2，∴A(0，1)，B(2，0)，∴AB＝5；如图，设⊙M与AB相切于点C，连结MC，则MC＝2，MC⊥AB.∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠MBC＝∠ABO，∴△MBC∽△ABO，∴CMOA＝BMAB，即21＝BM5，∴BM＝25，∴OM＝25－2，或OM＝25＋2.∴m＝2－25或2＋25.答案2－25或2＋25三、解答题6．(2015·甘肃武威，22，10分)已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：________或者________．(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．解(1)①∠BAE＝90°，②∠EAC＝∠ABC，理由是：①∵∠BAE＝90°，∴AE⊥AB.∵AB是直径，∴EF是⊙O的切线；②∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°.∵∠EAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝∠BAC＋∠ABC＝90°，即AE⊥AB.∵AB是直径，∴EF是⊙O的切线；(2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连结CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°.∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM.∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线．B组2014～2011年全国中考题组一、填空题1.(2013·天津，14，3分)如图，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段________．解析∵∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，∴△ADB≌△BCA，∴AC＝BD，BC＝AD，又∠DOA＝∠COB，∴△ADO≌△BCO，∴OA＝OB，OC＝OD.答案AC＝BD或BC＝AD或OD＝OC或OA＝OB2.(2014·福建三明，13，4分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是________(写出一个即可)．解析∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．有以下两种添加的方法：(1)可添加AB＝AD(或其它邻边相等)，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得证；(2)可添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得证．答案AB＝AD(或其它邻边相等)或AC⊥BD3．(2013·湖南邵阳，17，3分)如图，弦AB，CD相交于点O，连结AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是________．解析由同弧所对的圆周角相等可知∠A＝∠C，∠B＝∠D，另外由对顶角相等可知∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD.答案答案不唯一，如∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠AOD＝∠BOC或∠AOC＝∠BOD4．(2012·浙江丽水，11，4分)写出一个比－3大的无理数是________．解析本题是开放题，－3是一个负数，根据正数大于负数的原理，只要写出的无理数是一个正数，就一定比－3大．答案答案不唯一，如2，π二、解答题5．(2014·江西抚州，16，5分)先化简：(x－3x－4x－1)÷x－2x－1，再任选一个你喜欢的数x代入求值．解(x－3x－4x－1)÷x－2x－1＝x2－4x＋4x－1÷x－2x－1＝（x－2）2x－1·x－1x－2＝x－2.当x＝0时，原式＝0－2＝－2.(答案不唯一)6．(2014·湖南邵阳，21，8分)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．解(1)△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA；(2)选△ABE≌△CDF.证明：∵AF＝CE，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)．7．(2012·浙江衢州，23，10分)课本中，把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：图1(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对折，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB＜BC)进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图2甲)；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图2乙)．此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠(如图2丙)，此时点G恰好与N点重合．请你研究，矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．(3)不难发现，将一张标准纸如图3一次又一次对折后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB＝1，BC＝2，问第5次对折后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2012次对折后所得标准纸的周长．图2图3解(1)是标准纸．理由如下：∵矩形ABCD是标准纸，∴BCAB＝2.由对折的含义知：AF＝12BC，∴ABAF＝AB12BC＝2ABBC＝22＝2.∴矩形纸片ABEF也是标准纸．(2)是标准纸．理由如下：设AB＝CD＝a，由图形折叠可知：DN＝CD＝DG＝a，DG⊥EM.∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE＝12∠BAD＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴在Rt△ADG中，AD＝AG2＋DG2＝2a，∴ADAB＝2aa＝2，∴矩形纸片ABCD是一张标准纸．(3)对开次数 第一次 第二次 第三次 周长 21＋122212＋122212＋142对开次数 第四次 第五次 第六次 …周长 214＋142214＋182218＋182…∴第5次对折后所得的标准纸的周长为：2＋24，∴第2012次对折所得的标准纸的周长为：1＋221005.8．(2013·浙江杭州，17，6分)如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法，保留作图痕迹)．连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．解(1)∠A的角平分线：以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AD，AB于M和N，再分别以M和N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于一点P，作射线AP，就是∠A的角平分线；BC的垂直平分线：分别以B和C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于两点S和T，连结ST，则直线ST就是BC的垂直平分线．(2)由于矩形的对边互相平行，所以ST也是AD的垂直平分线，所以由垂直平分线的性质可得AQ＝DQ，进而有"等边对等角"可得∠QAD＝∠QDA等．所画图形如图．发现：QD＝AQ或者∠QAD＝∠QDA等等(开放题，答案不唯一)．