资源资源简介：

2016年中考复习数学真题汇编详解版：矩形、菱形、正方形一、选择题1.（2015年四川省宜宾市，6，3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD。若B（1，0），则点C的坐标为（）A.（1，2）B.（1，1）C.（，）D.（2，1）【答案】B【解析】如图，连结BC∵∠OCD=90°，CO=CD，∴△OCD是等腰直角三角形∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2∴BC⊥OD，且点B是OD的中点∵△OCD是等腰直角三角形，∴OB=BC∵B（1，0），∴C（1，1）2.（2015江苏省南京市，3，2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是A．B．C．D．【答案】C【解析】由周长比等于相似比3.（2015浙江嘉兴，5，4分）如图，直线∥∥,直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A.B.2C.D.【答案】D4.(2015贵州省安顺市,8,3分)如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A.3：2  B.3：1  C.1：1  D.1：2 【答案】D5.（2015四川省绵阳市，12，3分）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD︰DB=1︰2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE︰CF=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】考查了相似以及比例的性质由题意得，AD︰DB=1︰2，设AD=1，DB=2，CE︰CF=k;令CE=x，则CE=kx即CE=DE=kx,CF=DF=x,AE=3-kx，BF=3-x∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°又∠ADE+∠AEF=60°，∠ADE+∠FDB=60°∴∠ADE=∠BFD,∠AED=∠BDF∴△ADE∽△BFD∴∴故选B6.（2015江苏省无锡市，10，3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为        （）               A．    B．  C．  D．【答案】B【解答】解：由翻折可得∠AEC=∠DEC=90°，∠ECF=45°，利用Rt△AEC∽Rt△ACB，，解得AE=，CE=，∴DF=，B′F=BF=AB－AE－DF=，选B7.（2015浙江宁波，10，4分）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015.若hl=1，则h2015的值为()A．B．C．D．【答案】D8.（2015湖南株洲，7，3分）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是…….（）A、B、C、D、【答案】C【解析】解：∵AB∥EF∥CD∴△ABE∽△DCE，∴，同理△BEF∽△BCD∴，故选C9.（2015江苏淮安，8，3分）如图，，直线a、b与分别相交于点A、B、C和点D、E、F。若，DE=4，则EF的长是（）A．B．C．6D．10【答案】C【解析】因为，所以所以所以EF=6故选C10.j（2015贵州省铜仁市，9，4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A.3:4B.9:16C.9:1D.3:1【答案】B11.（2015成都市，1，3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（）A.1B.2C.3D.4【答案】：B【解析】：解：根据平行线段的比例关系，，即，，选B。12.（2015湖南省永州市，8，3分）如下图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACBＢ．∠ADB＝∠ABCＣ．AB2＝ADoACD．(第8题图)【答案】D【解析】解：在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角,那么当时，才能使△ADB∽△ABC，不是.故答案选D.二、填空题1.（2015四川省自贡市，14，4分）－副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为________．【答案】1︰32.（2015重庆B卷，14，4分）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2:3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为________.【答案】2:3【解析】解：相似三角形对应中线的比等于相似比.故答案为2:3.3.（2015浙江省金华市，14，4分）如图直线L1，L2，…，L6是一组等距的平行线，过直线L1上的点A作两条射线，分别与直线L3，L6相交于B，E，C，F，若BC＝2，则EF的长是____________.【答案】54.（2015四川省凉山州市，17，4分）在□ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△ODM：S△OBC=   .【答案】4：9.【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∵M，N为AD的三等分点，∴MD：AD=2：3，∴MD：BC=2：3，∵AD∥BC，∴△ODM∽△OBC，∴S△ODM：S△OBC=4：9.5.（2015四川省达州市，14，3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶尖C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB＝6，BC＝9，则AM的长为__________．【答案】【解析】∵C′是AB的中点，AB＝6，∴AC′＝BC′＝3，∵四边形DCFE沿EF翻折至D′C′FE，∴CF＝C′F，∠C＝∠C′，∴BC＝BF＋FC＝BF＋FC′＝9，∴FC′＝9－BF在Rt△BCF中，根据勾股定理得BF2＋BC′2＝FC′2，即32＋BF2＝（9－BF）2，解得BF＝4，∴FC′＝5，又∵∠BFC′＋∠BC′F＝90°，∠AC′M＋∠BC′F＝90°，∴∠BFC′＝∠AC′M，∵∠A＝∠B＝90°，∴△FCB′∽△C′AM，∴，即，∴．6.（2015湖南省长沙市，17，3分）如图，在中，，，，则的长是________．(第17题图)【答案】18【解析】7.（2015浙江嘉兴，12，5分）右图是百度地图的一部分（比例尺1﹕4000000），按图可估测杭州在嘉兴的南偏西______度方向上，到嘉兴的实际距离约为______________.【答案】43，80km(允许合理的操作误差)8.（2015山东临沂，18，3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点0，则=.【答案】2【解析】因为BD、CE分别是边AC、AB上的中线，所以D、E为AB、AC的中点，所以DE//BC，所以=2故答案为29.（2015江苏泰州，14，3分）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为．【答案】510.（2015天津市，16，3分）如图，在△ABC中，DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为【答案】11.(2015年湖南衡阳，20，3分)如图，△，△，△，…，△都是等腰直角三角形，其中点，，…，在x轴上，点，，…，在直线y＝x上，已知O=1，则的长为.【答案】【解析】解：因为点B在直线y＝x上，所以∠＝45°.因为△是等腰直角三角形，所以∠＝90°.＝，所以O＝＝＝1，所以＝2，同理＝＝＝2，所以＝４，同理＝8＝，…，所以＝.故答案为.12.（2015年江苏扬州市）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB=4cm，则线段BC=cm13.（2015贵州省铜仁市，17，4分）如图，∠ACB=90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，若BF=10，则AB的长为；【答案】8三、解答题1.（2015山东省青岛市，24，12分）已知：如图①，在□ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿着CB方向匀速移动，速度为1cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②.设移动时间为t(s)（0＜t＜4).连接PQ、MQ、MC.解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ∥MN？(2)设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；【答案】解：(1)如图所示，若PQ∥MN，则有,∵CQ=PA=t，CP=4-t，QB=5-t，∴，即，解得.(2)如图所示，作PD⊥BC于点D，则△CPD∽△CBA，∴,∵BA=3，CP=4-t，BC=5，∴，∴.又∵CQ=t，∴△QMC的面积为：(3)存在使得.理由如下：∵，，,∴，∴，即，解得.∴当时，.(4)存在某一时刻t=3，使PQ⊥MQ.理由如下：如图所示，作ME⊥BC于点E，PD⊥BC于点D，则△CPD∽△CBA，∴,∵BA=3，CP=4-t，BC=5，CA=4，∴，∴，.∵PQ⊥MQ，∴△PDQ∽△QEM，∴,即PD·EM=QE·DQ.∵，，，∴，即，∴t=3（0舍去）.∴当t=3时，使PQ⊥MQ.2.（2015福建省福州市，24，12分）定义：长宽比为（n为正整数）的矩形称为矩形.下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示.操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH.操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF.则四边形BCEF为矩形.证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=.由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形.∴∠A=∠BFE.∴EF∥AD.∴,即，∴.∴.∴四边形BCEF为矩形.阅读以上内容，回答下列问题：(1)在图①中，所有与CH相等的线段是，tan∠HBC的值是；(2)已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN为矩形；(3)将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个"矩形"，则n的值是.【答案】解：(1)GH，DG；；(2)证明：∵，BC=1，∴BD=.由折叠的性质可知：BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，则四边形BCEF为矩形.∴∠BNM=∠F，∴∴MN∥EF.∴,即∴BP·BF=BE·BN，∴，∴∴.∴四边形BCMN为矩形.(3)6.3.（2015浙江省丽水市，23，10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM＝CE；（2）若＝＝2，求的值；（3）若＝＝，当为何值时，MN∥BE？【答案】解：（1）∵F为BE的中点，∴BF＝EF．∵AB∥CD，∴∠MBF＝∠CEF，∠BMF＝∠ECF．∴△BMF≌△ECF．∴MB＝CE．∵AB＝CD，CE＝DE，∴MB＝AM．（2）设MB＝．∵AB∥CD，∴△BMF∽△ECF．∵＝2，∴＝2．∴CE＝．∴AB＝CD＝2CE＝，AM＝AB－MB＝．∵＝2，∴BC＝AD＝．∵MN⊥MC，∠A＝∠ABC＝90°，∴△AMN∽△BCM．∴＝，即＝．∴AN＝，ND＝＝．∴＝︰＝3．（3）方法一：∵＝＝，设MB＝，由（2）可得BC＝，CE＝，AM＝．由△AMN∽△BCM，AN＝，DN＝．∵DH∥AM，＝，DH＝，∴HE＝．∵MBEH是平行四边形，∴＝．∴＝4．方法二：∵＝＝，设MB＝，由（2）可得BC＝，CE＝．当MN∥BE时，CM⊥BE，可证△MBC∽△BCE．∴＝．∴＝．∴＝4．4.（2015福建省福州市，25，13分）如图①，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M.(1)证明：DM=DA；(2)点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；(3)在图②中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长.【答案】证明：(1)∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE.∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴DM=DA.(2)∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠DEG=∠C，∠BDE=∠A，∴∠BDE=∠AFE.∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC.∵∠BDG=∠C，∴∠EDG=∠FEC,∴△DEG∽△ECF.(3)如图所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED.∴，即.∵∠A=∠AFE，∠B=∠CFH，∴∠C=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH.又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF.∴，即.∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=AD=BD.∵BE=EC,∴EH=BG=1.解法2：如图所示，在DG上取一点N，使得DN=FH.∵∠A=∠AFE，∠ABC=∠CFH，∠C=∠BDG，∴∠EFH=180°-∠AFE-∠CFH=∠C=∠BDG.∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=AD=BD.∴△BDN∽△EFH，∴BE=EH，∠BND=∠EHF，∴∠BNG=∠FHC.∵∠BDG=∠C，∠DBG=∠CFH，∴∠BGD=∠FHC，∴∠BNG=∠BGD，∴BN=BG.∴EH=BG=1.解法:3：如图所示，取AC的中点P，连接PD、PE、PH，则PE∥AB.∴∠PEC=∠B，∵∠CFH=∠B，∴∠PEC=∠CFH.又∵∠C=∠C，∴△CEP∽△CFH，∴.∴△CEF∽△CPH，∴∠CFE=∠CHP.由（2）可得∠CFE=∠DGE，∴∠CHP=∠DGE，∴PH∥DG.∵D、P分别为AB、AC的中点，∴DP∥GH，DP==BE，∴四边形DGHP是平行四边形，∴DP=GH=BE.∴EH=BG=1.解法4：如图所示，作△EHF的外接圆交AC于另一点P，连接PE、PH.则∵∠HPC=∠HEF，∠FHC=∠CPE，∵∠B=∠CFH，∠C=∠C，∴∠A=∠CHF，∴∠A=∠CPE.∴PE∥AB.∵DE∥AC，∴四边形ADEP是平行四边形，∴DE=AP=，∴DE=CP.∵∠GDE=∠CEF，∠DEB=∠C，∴∠GDE=∠CPH，∴△DEG≌△PCH，∴GE=HC，∴EH=BG=1.解法5：如图所示，取AC的中点P，连接PD、PE、PH.则PE∥AB.∴∠PEC=∠B.又∵∠CFH=∠B，∴∠PEC=∠CFH，又∵∠C=∠C，∴△CEP∽△CFH，∴.∴△CEF∽△CPH，∴∠CEF=∠CPH.由（2）可得∠CEF=∠EDG，∠C=∠DEG.∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE==PC，∴△DEG≌△PCH，∴GE=HC，∴EH=BG=1.5.（2015浙江省湖州市，10，分）(本小题10分)已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A、B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．(1)初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D、E的运动速度相等．求证：HF＝AH＋CF．小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH，再证GF＝CF，从而证得结论成立；思路二：过点F作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM＝AH，再证HF＝MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)：(2)类经探究如图2，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且点D、E的运动速度之比是∶1，求的值；(3)延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记＝m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示(直接写出结果，不必写解答过程)．【答案】【解析】(1)证明方法一(选择思路一)过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠ADG＝∠B＝60°，∠A＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴GD＝AD＝CE，∵DH⊥AC，GH＝AH，∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，∴△GDF≌△CEF，∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AH＋CF．方法(选择思路二)：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝∠ECM＝60°，∵DH⊥AC，EM⊥AC，∴∠AHD＝∠CME＝90°，∵AD＝CE，∴△ADH≌△CEM，∴AH＝CM，DH＝EM，又∵∠DHF＝∠EMF＝90°，∠DFH＝∠EFM，∴△DFH≌△EFM，∴HF＝MF＝CM＋CF＝AH＋CF．(2)解：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2，则∠ADG＝∠B＝90°，∵∠BAC＝∠ADH＝30°，∴∠HGD＝∠HDG＝60°，∴AH＝GH＝GD，AD＝GD，由题意可知，AD＝CE，∴GD＝CE，∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，∴△GDF≌△CEF，∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AH＋CF．∴．(3)．其思路是这样的，如图所示，过点D作DM∥BE交AC于点M．由∠A＝∠ADH＝36°，AB＝AC，易得AH＝HD＝DM，△MHD∽△ADM∽△ABC，所以，所以MH＝m·MD，由DM∥BE，AD＝EC，得，所以MF＝m·FC，所以=．6.(2015浙江台州，23，12分)如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3．过点E作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，交折线BCD于点Q．设AP=x，PO·OQ=y．（1）①延长BC交ED于点M，则MD=，DC=； ②求y关于x的函数解析式；（2）当时，，求a，b的值；（3）当时，请直接写出x的取值范围．【答案】解：①由题意有∴四边形是平行四边形∴＝1∴又即②当，此时，令，即则当在上，，此时，∴函数的解析式：由随着的增大而减小，有，解之得：，①当，则∴②当对称轴,当,,满足题意，此时＜2∴7.（2015山东省德州市，23，10分）(1)问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.(2)探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.【答案】解：(1)证明：如图1∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°,∴∠APD=∠BPC.∴△ADP∽△BPC.∴∴AD·BC=AP·BP.(2)结论AD·BC=AP·BP仍成立.理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC.又∵∠BPD=∠A+∠ADP.∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.∵∠DPC=∠A=θ.∴∠BPC=∠ADP.又∵∠A=∠B=θ.∴△ADP∽△BPC.∴∴AD·BC=AP·BP.(3)如图3，过点D作DE⊥AB于点E.∵AD=BD=5,AB=6.∴AE=BE=3.由勾股定理得DE=4.∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切.∴DC=DE=4.∴BC=5-4=1,又∵AD=BD,∴∠A=∠B.由已知，∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B.由（1）、（2）的经验可知AD·BC=AP·BP.又AP=t,BP=6-t,∴t(6-t)=5×1.解得t1=1,t2=5.∴t的值为1秒或5秒.8.（2015安徽，23，14分）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是ABCD的中点.过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF.若∠AGD=∠BGC.(1)求证：AD=BC;(2)求证：△AGD∽△EGF;(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值.【答案】(1)略(2)略(3)【解析】解：(1)证明:∵GE是AB的垂直平分线,∴GA=GB.同理GD=GC.在△ACD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,CD=GC,∴△AGD≌△BGC,∴AD=BC.(2)证明:∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.在△AGB和△DGC中,,∠AGB=∠DGC,∴△AGB∽△DGC.∴.又∠AGE=∠DGF,∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF(3)解:如图1,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AH⊥BH.由△AGD≌△BGC,知∠GAD=∠GBC,在△GAM和△HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB.∴∠AGB=∠AHB=90°,∴∠AGE=∠AGB=45°,∴又△AGD∽△EGF,∴(本小题解法有多种,如可按图2和按图3作辅助线求解,过程略)9.（2015江苏省南京市，20，8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．（1）求证△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【答案】【解析】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°.又∴△ACD∽△CBD（2）∵△ACD∽△CBD∴∠A=∠BCD在△ACD中，∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°.∴∠BCD+∠ACD=90°即∠ACB=90°10.（2015上海市，23，12分）已知：如图5，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，联结DE.（1） 求证：DE⊥BE；（2） 如果OE⊥CD，求证：BDDE【答案】(1)证明略；（2）证明略； 【解析】解：（1）∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD；∵OB=OE，∴OD=OE，∴∠OED=∠ODE；∵在△BED中，∠OEB+∠OBE+∠OED+∠ODE=180∴∠OEB+∠OED=，即∠BED=90，故DE⊥BE。（2）设OE交CD于H，∵OE⊥CD于H，∴∠CHE=90，∴∠CEH+∠HCE=90∠OBE=∠∵∠CED=90，∴∠CDE+∠DCE=90∴∠CDE=∠CEH；∵∠OEB=∠OBE，∴∠OBE=∠CDE；在△CED与△DEB中∴△CED∽△DEB∴11.（2015江苏泰州，23，10分）（本题满分10分）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1﹕2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平面上.（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m．将货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）解：（1）∵斜坡AB的坡度为i=1﹕2，∴,∵AC=4m，∴BC=8m；（2）过点D作BC的垂线，垂足为点H，交AB于点M，在矩形DEFG中，∠DGM=90°，DG=EF=2m，GF=DE=2.5m，∴∠DGM=∠BHM，∵∠DMG=∠BMH，∴△DMG∽△BMH，∴，∴GM=1cm，∴FM=1.5m，DM=m，∴BM=FM＋BF=5m，在Rt△BHM中，BM2=MH2＋BH2，BH=2MH，∴MH=m，∴DH=2m≈4.5m．12.（2015四川南充，22，8分））如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．【答案】（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD；(2)6.【解析】解：（1）有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.(2)设AP=x，∴由折叠关系，BP=AP=EP=x，AB=DC=2x，AM=1由△AMP∽△BPQ得，,即BQ=。由△AMP∽△CQD得，,即CQ=2。AD=BC=BQ+CQ=+1又∵在Rt△FDM中，sin,DF=DC=2x，∴变形得，，解方程得，，（不合题意，舍去）即AB=613.（2015江苏省无锡市，26，10）（本题满分10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m－5，2）．（1）是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．【答案】解：（1）1≤m≤9；（2）m的值为3.5或6.5．【解答】解：（1）由题可得，BC=5，B、C两点在y=2的直线上，直线y=2与y轴交于点G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，易得△OPG∽△PAH，∴，设GP=x，则，解之得x=1或x=4，故存在以下两种情况如图1，当∠OPA=90°时，GP=1时，P点在BC上，得，解之得：1≤m≤6当如图2，当∠OPA=90°时，GP=4时，P点在BC上，得，解之得：4≤m≤9综上可得，1≤m≤9（2）∵BC∥OA，BC=OA=5、∴四边形OABC是平行四边形∴AB∥OC延长AQ交OC延长线于点M∴∠3=∠M∵AQ平分∠OAB∴∠2=∠3∴∠2=∠M∴OA=OM且OQ平分∠AOC，∴OQ⊥AQ，AQ=MQ由（1）得此时Q点坐标为（1，2）或（4，2），如图3，4在△AQB和△MQC中∴△AQB≌△MQC∴CQ=BQ当Q点坐标为（1，2）时m－1=1－（m－5）解之得m=3.5当Q点坐标为（4，2）时m－4=4－（m－5）解之得m=6.5综上可得，当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，m的值为3.5或6.5．14.（2015江苏省无锡市，28，10）（本题满分10分）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．（1）若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求证：CN⊥OB．（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．①问：1OM－1ON的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求S1S2的取值范围．【答案】（1）见解答（2）①的值不变，；②0＜≤【解答】解：（1）证明：如图1，∵PQ∥OA，PM∥OB∴四边形OMPQ是平行四边形∴PQ=OM=4∴∴PQ=4，OC=6，OQ=1∴QN=2∴ON=3取OC中点E，连接NE∴ON=OE=3∵∠AOB=60°∴△ONE是等边三角形∴∠ONE=∠NEO=60°∴NE=OE=OC=3∴∠ENC=∠ECN=30°∴∠ONC=∠ONE+∠ENC=90°∴CN⊥OB（2）①的值不变，理由如下：如图2，∵四边形OMPQ是菱形∴OM=OQ=PQ∵四边形OMPQ是菱形∴PQ∥OC∴∴∵OC=6∴②过点Q作QG垂直OC，垂足为G，记作h1，过点N作NH垂直OC，垂足为H，记作h2∴∵QG⊥OC，NH⊥OC∴∠QGO=∠NHO=90°∴QG∥NH∴∵四边形OMPQ是菱形∴PQ∥OC∴∴设ON=a，QN=x，则OQ=a－x∴当x=时，有最大值∴0＜≤15.（2015山东省威海市，23，10分）（1）如图①，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°．求AD的长．（2）如图②，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．（第23题图①）（第23题图②）【答案】(1)AD=9(2)AD=．【解析】解：（1）连接BE．（第23题图①）∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE．即∠BCE=∠ACD．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．∵AC=BC=6，∴AB=．∵∠BAC=∠CAE=45°，∴∠BAE=90°．在Rt△BAE中，AB=，AE=3，∴BE==9，∴AD=9．（2）连接BE．（第23题图②）在Rt△ACB和Rt△DCE中，∠ABC=∠CED=30°，∴．∵∠ACB=∠DCE=90°，∽∴∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DCE．即∠BCE=∠ACD．∴△ACD∽△BCE．∴．∵∠BAC=60°∠CAE=30°，∴∠BAE=90°∴在Rt△ACB中，AC=3，∠ABC=30°，∴AB=6，在Rt△BAE中，AB=6，AE=8，∴BE=10，∵，∴AD=．16.m（2015浙江省杭州市，22，12分）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E.（1）若，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P.问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.（第22题）解：（1）因为∠ACB=Rt∠，DE⊥AC，所以DE∥BC，所以.因为，AE=2，所以，解得EC=6.（2）①若∠CFG1=∠ECD.此时线段CP1为Rt△CFG1边上的中线.证明：因为∠CFG1=∠ECD，所以∠CFG1=∠FCP1，又因为∠CFG1+∠CG1F=90°，∠FCP1+∠P1CG1=90°，所以∠CG1F=∠P1CG1，所以CP1=G1P1，又因为∠CFG1=∠FCP1，所以CP1=FP1，所以CP1=FP1=G1P1，所以线段CP1为Rt△CFG1的FG1边上的中线.②若∠CFG2=∠EDC.此时线段CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.证明：因为∠CFG2=∠EDC，因为DE⊥AC，所以∠DEC=90°，所以∠EDC+∠ECD=90°，所以∠ECD+∠CFG2=∠ECD+∠EDC=90°，所以CP2⊥FG2，即CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.17.（2015山东省菏泽市，16①，6分）（1）（6分）如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离.解：连接MN，∵∴∵∠BAC=∠NAM，∴△BAC∽△NAM,∴，∴,∴MN=1500.答：M、N两点之间的直线距离为1500米.（或结论语：故M、N两点之间的直线距离为1500米，或写成1.5千米.）18.(2015浙江省绍兴市，24，12分)(本题14分)在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点。(1)若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；②若BQ:BP=1:2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；(2)若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F。若B1E:B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。【答案】(1)①点B(4，2)；②如图1，过点P作PD⊥OA，垂足为点D。∵BQ:BP=1:2，点B关于PQ的对称点为B1，∴B1Q:B1P=1:2.∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°，∴∠PB1D=∠B1QA，∴△PB1D∽△B1QA，∴=2，∴BA=1，∴OB1=3，即点B1(3，0)；(2)∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，∴∠OAC=30°，∴点C(1，)。∵B1E:B1F=1:3，∴点B1不与点E、F重合，也不在线段EF的延长线上。①当点B1在线段EF的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E:B1F=1:3，∴B1G=m。设OG=a，则GF=a，OF=a，∴CF=2-a，∴EF=4-a，B1E=2-a∴B1G=B1E+EF+FG=(2-a)+(4-a)+a=m，∴a=-m+，即B1的纵坐标为-m+，m的取值范围为≤m≤1+；②当点B1在线段EF(除点E、F)上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E:B1F=1:3，∴B1G=m。设OG=a，则GF=a，OF=a，∴CF=2-a，∴FE=4-a，B1F=EF=3-a∴B1G=B1F+FG=(3-a)+a=m，∴a=-m+，即B1的纵坐标为-m+，m的取值范围为≤m≤3.【解析】本题考查了矩形、平行四边形的性质、图形轴对称的性质以及图形相似的性质和分类讨论的数学思想．第(1)题，可得△PB1D∽△B1QA，从而求得BA=1、OB1=3，即可得点B1坐标为(3，0)；第(2)题，先求得点C(1，)，再根据条件B1E:B1F=1:3，结合图形可得点B1不与点E、F重合、也不在线段EF的延长线上，从而分为①当点B1在线段EF的延长线上；②点B1在线段EF(除点E、F)上，进行问题讨论。19.（2015义乌24，12分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=4，OC=2，点P、Q分别是边BC、AB上的点，连结AC、PQ，点B1是点B关于PQ的对称点.(1)若四边形OABC为矩形，如图1.①求点B的坐标.②若BQ:BP=1:2，且落在OA上，求点B1的坐标.（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E，F.若B1E:B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围.【答案】解：（1）①点B的坐标是（4，2）.②如下图，在OA上作出点B关于PQ的对称点B1，∵在矩形OABC中，∠B1BA+∠B1BC=90°，又由对称知BB1⊥PQ，∴∠B1BC+∠BPQ=90°.∴∠B1BA=∠BPQ.又∵∠PBQ=∠B1AB=Rt∠，∴Rt△B1AB∽Rt△QBP.∴B1A:AB=BQ:BP=1:2.又∵AB=2，∴AB1=1.∴OB1=3.∴点B1的坐标（3，0）.（2）∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，∴∠OAC=30°.∴点C（1，）.∵B1E:B1F=1:3，∴点B1不与点E、F重合，也不在线段EF的延长线上.①当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E:B1F=1:3，∴B1G=m.设OG=a，则GF=，OF=，∴CF=2-.∴FE=4-，B1E=2-.∴B1G=B1E+EF+FG=m.∴a=，点B1的纵坐标为.m的取值范围是.②当点B1在线段EF（除点E、F）上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E:B1F=1:3，∴B1G=m.设OG=a，则GF=，OF=，∴CF=2-.∴FE=4-，B1F=.∴B1G=B1F+FG=m.∴a=，点B1的纵坐标为.m的取值范围是.20.（2015成都市）（本小题满分10分）已知分别为四边形和的对角线，点在内，。（1）如图①，当四边形和均为正方形时，连接。1)求证：∽；2）若，求的长。（2）如图②，当四边形和均为矩形，且时，若，求的值；（3）如图③，当四边形和均为菱形，且时，设，试探究三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）【答案】：（1）见解析，2）；（2）；（3）【解析】：解：（1）∵，∴又，∴△CAE∽△CBF（2），，由可△CAE∽△CBF得，又，∴，即由，解得.（2）连接BF，同理可得，由，可得，所以，。，解得。（3）连接BF，同理可得，过C作延长线于H，可解得，，.