我们上文介绍过偶完全数。为了使读者能了解同余能帮助我们更深入认识数的一些美丽性质,我们来研究偶完全数一个很巧妙的性质。 我们回忆一下:完全数是那些整数,它的所有小于它本身的因子的和是等于自身。我们知道的完全数到目前为止只有27个,而且都是偶数。最小的几个是 6=1+2+3,28=1+2+4+7+14,496,8128,33550336等等。 你可以看到这些数的个位数和十位数时常是6或28。如果明天有一个新的偶完全数被人们发现,它的个位数或十位数是否也会是6或28呢? 我们知道二千年前的欧几里得及18世纪的数学家欧拉证明了偶完全数只能是2k-1(2k-1)这里 k=2或k是奇数。 k=2时,我们得最小的偶完全数 2(22-1)=6; 现在看k是奇数的情形,奇数可以分成两类: 第一类 k被4除后余1,即 k≡1(mod 4) 由于 k-1=4n,所以2k-1=24n=(24)n 从24=16≡6(mod 10)我们有2k-1≡6n(mod 10),但是62=36≡6(mod 10), 63≡6(mod 10),一般6n≡6(mod 10)所以由同余的传递性我们说2k-1≡6(mod 10)。 所以2k=2×2k-1≡2×6=12≡2(mod 10) 因此2k-1≡2-1(mod 10)即2k-1≡1(mod 10) 所以(2k-1)2k-1≡6(mod 10),这就是说当偶完全数的k是第一类,这数减6后必能被10整除,也就意味着这完全数的个位数是6。 第二类 k被4除后余3,即 k≡3(mod 4) 由k-3=4n,我们得2k-1=24n+2=24n·22≡6·4≡4(mod 10) 读者用数学归纳法可以证明当k>3时,所有的 2k-1都能被4整除,因此 2k-1的个位数是 4,且最后的两位数也能被 4整除,所以它最后两位数可能出现04,24,44,64或者84,即2k-1≡4,24,44,64或84(mod 100) 所以2k-1≡2×2k-1≡7,47,87,27,或67(mod 100) 因此2k-1(2k-1)≡4×7,24×47,44×87,64×27或 读者试试算以上的各种情形一定会得到 2k-1(2k-1)≡28(mod 100)
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