主题词：信息技术，案例，数学问题，折纸，数学实验。

　　信息技术作为强有力的工具在问题解决可起到极好的辅助功能，如何在数学内容的教学中更好地体现教学与信息技术、教学与问题解决的有效整合，是十分重要的一个课题。下文是进行这种探索的一个案例<折纸中的数学问题>。敬请指正。
　　【问题的背景】
　　将边长为a的正方形纸ABCD的一个顶点B“折”到它的对边AD上。从操作过程发现“折”的过程其实就是数学中的“对称”，在《几何画板》软件中，可选取边AD上任意一点B₁，则线段BB₁的中垂线MN就是“折线”。如下图所示，拖动点B₁，观察图形动态的变化过程。可以发现在这一简单的过程中蕴含着丰富的量的变化和形的运动，你能从中提出哪些数学问题？

 图1　　　　　　　　图2

　　 【问题的提出及探究】
　　学生从各个不同的角度提出了自己的问题，现摘录几个典型问题如下：
　　问题一   探究所折部分图形BCNM的面积的最值情况。
　　直觉猜想：BCNM的面积取到最值时，B₁的位置应在线段AD的两端或中点。
　　实验操作 ：
　　1.度量线段AD、AB₁的长度及多边形C^/B₁MN的面积，拖动点B₁，得到一组数据，并利用“制表”功能列成表格。（如图3）
　　2.以AB₁的长度为x，以面积C^/B₁MN为y ，绘制点P（x，y），通过B₁在AD上的运动，可得到点P的轨迹。（如图4）

图3　　　　　　　图4

　　观察分析：
　　当B₁在AD的中点位置时，面积取到最小值；
　　当B₁在线段AD的两端点时，面积取到最大值。

　　数学论证：
　　如图5所示，设AB₁=x，四边形C^/B₁MN的面积为y，
　　在Rt△BAB₁中，由MB=MB₁，可求得

　　
  
　　过N作NQ//BC，则有△NQM≌△BAB₁，所以

　　∴
　　∴当 ，即当B点落在AD的中点位置时，使折起部分的面积最小，其最小值为。
　　引申1  若将正方形改为矩形(如图6，设BC=a，AB=b。)呢?
　　实验操作：
　　1. 利用<几何画板>作出一个长和宽可以变化的矩形ABCD，B₁是AD上的一动点，MN是BB₁的中垂线。
　　2. 当a<b时，则所折四边形C/B₁MN的面积随AB₁变化的实验情况如下图所示。

图6

　　3. 当a>b时， 拖动点B₁，所折四边形C^/B₁MN形状随AB₁变化（如图7，图8，图9）。

　　　
图7　　　　　　　图8　　　　　　　图9　　　　　　图10

　　4. 以AB₁的长度为x，以所折的各多边形的面积为y ，绘制点P（x，y），通过B₁在AD上的运动，可得到点P的轨迹（如图10）。
　　观察分析：
　　当a<b时，B点折到AD的中点位置时，所折部分的面积最小 
　　当a>b时，所折部分图形的形状随B₁不同位置有较大的变化，面积的最小值并非是B点落在AD的中点位置时取到。
　　数学证明：
　　(1)当a<b时，可求得

　　，C^/N= ，则
 
　　∴当，即当B点落在AD的中点位置时，使折起部分的面积最小，其最小值为。
　　(2) 当a>b时，可求得

　　可求得当，使折起部分的面积最小，其最小值为。
　　对于求高次函数的最小值，鼓励学生利用TI-92Plus图形计算器的fMin命令或求导命令辅助完成。

　　问题二   探究折线所形成的包络线。
　　学生在折纸过程中发现留在纸上的众多折线看着杂乱无章，又似是有规可寻。将问题推广并加以数学化，即为探求一定点（B）与一直线（AD）上的动点（B₁）的连线段的中垂线MN的运动区域。
　　实验操作：
　　1. 运动边AD上的点B₁，追踪中垂线MN，形成一个平面区域（如图11）;
　　2. 运动直线AD上的点B₁，追踪中垂线MN，得到一个平面区域（如图12）;
　　3. 过B₁作AD的垂线交直线MN于点P，运动点B₁得到点P的轨迹（如图13）。
　　4. 分别度量PB与PB₁的距离（如图13）。

 　　观察发现：
　　（1） 这些平面区域的轮廓(包络线)是抛物线，其中B为抛物线的焦点，AD为准线；
　　（2） 所有的中垂线MN都抛物线相切，即抛物线的焦点与准线上的点的连线段的中垂线必与抛物线相切;
　　（3） 切点P即为过B₁与直线AD的垂线B₁P与中垂线MN的交点。
　　（4） 当B₁在AD上运动时，始终有PB=PB₁，点P的轨迹为该抛物线。
　　数学论证：
　　可以采用代数的方法求得中垂线MN所经过的区域满足的条件：
　　以AD所在直线为x轴，过B垂直于AD的直线为y轴建立直角坐标系。设B（0，a），B₁（t，0），其中a为非零常数，t为任意实数，则线段BB₁的中垂线MN方程为：

　　∴

　　因为t为任意实数，则必有：
                Δ= 
　　　　　　
                    
　　显然中垂线MN上的任意一点（x，y）都在抛物线上或其外部。
　　引申2   将问题二中的直线AD换成一个圆，探究定点B与定圆C上一动点B₁连线段BB₁的中垂线j的包络线。
　　 实验：
　　1. 运动圆上的点B₁，追踪中垂线，观察中垂线扫过的平面区域（如图14）;
　　2. 构造圆心C与点B₁的直线交中垂线j的交点P，运动点B₁，得到点P的轨迹，观察轨迹的形状及其与区域的关系（如图15）。
　　3. 移动定点B与定圆C的相对位置，再进行上述操作（如图16，图17）。

　　发现：
　　(1) 当定点B在定圆C外时，包络线是双曲线，点B和点C恰好是双曲线的两焦点;
　　当点B在圆C内时，包络线是椭圆，点B和点C恰好是椭圆的两焦点。
　　(2) 线段BB₁的中垂线j与双曲线(或椭圆)的切点即为中垂线j与直线CB₁的交点。
　　上述结论得用双曲线及椭圆的定义容易得到证明。而且得到椭圆或双曲线共有的一个性质：
　　【性质】以椭圆（或双曲线）的其中一个焦点为圆心，以长轴（或实轴）长为半径的圆上任一点与另一个焦点连线段的中垂线，必与该椭圆（或双曲线）相切。
　　【反思与评价】
　　通过<几何画板>以及图形计算器等信息技术工具，在教师适当的引导下，学生有条件和能力进行自主的探究和拓展，可以实现对一个问题进行自主的操作实验、观察发现、理解领悟，体验问题的发现、提出、探究与解决以及再发现的全过程，不仅使学生在活动过程中获取了知识，更提高了能力。
。另一方面，通过信息技术可实现多元联系以及开放的学习平台，将变化的过程通过图形、数据、表格、函数图象、运动等等方式一起呈现，使学生深刻地领悟到数学的实质，激发进一步学习数学的兴趣。