内容提要 随着课程教材的改革，图形计算器作为教与学的工具，进入了中学课堂。本文通过三个典型案例分析，探讨如何更好地运用图形计算器助学、导学、促学。转变观念是用好图形计算器的关键。在运用图形计算器进行教学时应把握好适用、适时、适度的原则。最终使图形计算器成为学生自主探究的工具，用它去发现问题、提出问题、解决问题，真正促进学生的学习。

主题词 图形计算器　　典型案例　　运用原则

随着课程教材改革的深入，我国数学教学打破了传统的教学方式，更加注重信息技术与数学课程的整合，倡导积极主动、勇于探索的学习方式。在此背景下，图形计算器走进了中学课堂。如何更好地运用它来帮助学生学懂，引导学生学会，进而促进学生会学呢？本文就此问题结合教学实践作一些初步的探讨。

一、典型案例分析

（一）探索图象变换的规律

在缺乏技术支持的环境中高一学生学习函数这一内容时，往往把函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法不能有效联系在一起用于解决问题，特别由数思形的能力更显不足。如何帮助学生更好地建立这种多元联系表示呢？笔者曾做过这样一个尝试：

根据f(x)=-x²+7x-6的图象(图1)，探索y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象变换规律。

按传统教法，这一内容一般是在高三复习教学时讲授，并且是直接告诉学生变换规律，还总结出口诀让学生记住：

由f(x)图象“保上方，下翻上”得|f(x)|的图象(图2)；

由f(x)图象“保右方，擦左方，右翻左”得f(|x|)的图象(图3)。

由于结论是教师硬塞给学生的，学生往往不能很好地理解与掌握，运用时出错率高。

现在引入技术后，学生可以运用图形计算器，直接画出y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象，再与y=f(x)图象进行比较：

学生觉得很有趣，惊奇于这一“麦当劳”式的图象；同时，通过列表发现自变量与因变量间的取值关系。这时，有的学生又输入了其它一些解析式进行探索。通过观察、比较，似乎发现了一些规律，只是缺乏概括总结。此时，教师不失时机提出：如果不用图形计算器，已知f(x)=(x-1)²-2分别作出y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象，并与y=f(x)的图象进行比较，总结变换规律。

这一猜想过程必须让学生经历，并且留充分的时间让学生去想去猜，通过互相交流，引起争论后，再让学生用图形计算器验证猜想是否正确。

通过一看二猜三验证的过程，发现了图象变换的规律，并对函数的三种表示方法的优缺点作了总结，这实际上让学生经历了观察、实验、猜想、验证、得出结论等这一探索规律的全过程。这说明图形计算器只要使用得当，是可以帮助学生学习的。

(二) 探究两图象交点问题

学习完反函数概念和性质后，教师给出问题：

利用图形计算器，在直角坐标系中先作出函数的图象(图4)，然后作出函数y=b的图象，通过改变b的值，上下移动函数y=b的图象(图5)，观察它与函数的图象的交点个数，并加以论证。

拿到问题后，学生用图形计算器画出了的图象(图4)，并利用轨迹追踪功能得到：当x=1时,y_max=1; 当x=-1时,y_min=-1，由此观察到：

当b=±1时，与y=b有一个交点；

当-1<b<1时，与y=b有两个交点；

当b<-1或b>1时，与y=b没有交点。

学生对b=0没有考虑到，这时，教师是把结论直接告诉学生，还是让学生自己去发现问题呢？

教师接下来从方程的角度去引导学生思考问题：

与y=0.5图象有两个交点(x1 ,0.5),(x2 ,0.5),从方程的角度看，x1 ,x2应是哪个方程的两根？讨论与y=0.5的交点问题实质上是讨论哪个方程根的情况？

通过引导，学生得出如下结论：

与y=b联立消去y得，则 bx²-2x+b=0，

若x1 ,x2是方程的两根，则(x1 ,b)，(x2 , b)就是与y=b两图象交点。

若△=0，则b=±1,方程有两个相等的实数根；

若△>0，则-1<b<1,方程有两个不相等的实数根；

若△<0，则b<-1或b>1,方程没有实数根。

同学们发现，这个结论与刚才观察图象得出的结论是一样的，说明两函数图象交点问题可以用方程根的问题来刻画，从而让学生在动手实践、观察思考中体会了数形结合的思想。

此时，教师再提醒学生思考，以上推理有无疏漏？观察图象，检查有一个交点时，b的取值范围究竟是什么？

这时，有学生发现b=0时，两图象只有一个交点。从方程角度又如何理解呢？

对于方程bx²-2x+b=0，当b=0时，为一次方程，有一个根。因此,结论应修正为：

当b=-1,0,1时，与y=b图象有一个交点；

当-1<b<1且b10时，与y=b图象有两个交点；

当b<-1或b>1时，与y=b图象没有交点。

至此，学生领悟了函数与方程间的内在联系。运用图形计算器作图观察、猜想，实现了函数的多元联系表示，从方程角度论证了猜想，并对疏漏进行了修正。

正当笔者准备总结时，一学生举手示意，原来他把刚才探究的函数变形为yx²-2x+y=0，解出，改写x，y得。他将两个解析式输入图形计算器，问：“老师，这是不是函数的反函数图象？反函数怎么会有两个？” (图6)

笔者感到既意外又惊喜：我事先并未从反函数角度去设计问题，学生提出这个问题，我感到意外；令我惊喜的是，而此问题的解决有助于学生更进一步理解函数与反函数的概念，何乐而不为呢？借助图形计算器，学生自己提出了问题，这不正是教师所期望的吗？我并未急于回答他的问题，而是鼓励他自己或与他人合作探索这个问题。

（三）一个富有挑战性的问题

笔者曾在课外活动时间留给高一学生这样一个富有挑战性的问题：

用图形计算器探索：y=x³-ax在[1，+)上单调递增，求a的取值范围。

按常规教学，这个问题只有到高三学习了导数之后，用导数知识求解，而对高一学生而言，似乎不具备解决问题的能力。

情况真是这样吗？笔者也在怀疑。

在问题公布出去的第二天，就有一位女同学拿着她的研究报告找到了我。她的基本思路是：取a=-2,-1,0,1,2,3,4,5,通过图形计算器作出图象进行观察，利用轨迹跟踪功能，猜想a3.

证明如下：设1x₁< x₂ ,

f(x₁)- f (x₂)= x₁³-a x₁-x₂³+a x₂= x₁³- x₂³-a (x₁- x₂)

=(x₁-x₂)(x₁²+ x₁x₂+ x₂²-a)

由于x₁<x₂ , x₁-x₂<0，又1x₁< x₂ , x₁²+ x₁x₂+ x₂²33

又f (x)=x³-ax在[1，+)上单调递增,故f (x₁)-f(x₂)<0,

而x₁- x₂<0 , x₁²+ x₁x₂+ x₂²-a>0 ,即a< x₁²+ x₁x₂+ x₂²,

又x₁²+x₁x₂+x₂²3， a3。

没想到在图形计算器的帮助下，有同学居然解决了此问题。数学也需要实验，而图形计算器正是搭建实验的平台。对教学内容适度深化，提出挑战性的问题，运用图形计算器引导学生提出问题、发现问题、解决问题，这对激发学生求知欲、发展探究问题的能力、丰富学生的认知结构大有帮助。

二、几点认识与思考

（一）转变观念是用好图形计算器的关键

传统的教学认为只有学会了才能去做，因此教师一般先讲授所要学的概念和知识点，而后让学生做练习，再尝试解答相关问题。教师更多关注怎么“教”，学生的“学”是在教师设计好的程序中展开，大大限制了学生的自主学习。现代教学观首先关注学生的学，认为知识要靠学生的主动建构才能获得，鼓励学生在“做”中学，把自主探索、合作交流与动手实践作为学习方式。因此，要转变学习方式，首先得转变教学方式，更新教师的教学观念。

（二）运用图形计算器应把握好适用、适时、适度的原则

由于观念不同，教师教学设计不同，图形计算器的利用价值也不同。图形计算器不会思考，它只是一种工具，真正创造性的思维还必须由学生自己完成。因此，在运用图形计算器进行教学的过程中，选择什么内容用？而这一内容允许适度深化，跨越知识体系，只要有助于学生对数学的理解就行。在什么时机用？怎样用才能充分发挥图形计算器的功能与作用？是将它作为验证结论的工具，还是用它去体验数学概念、定理、公式发现的过程，真正去“做数学”呢？看来应把握好适用、适时、适度的原则，这是值得教师思考的问题。

（三）运用图形计算器助学、导学，最终实现促学

图形计算器进入课堂，首先应明确：我们用它来作什么？图形计算器不只是“教”的辅助工具，而更应该是一种学生学习的工具。实现学习方式的转变，需要教学方式的转变，也需要信息技术的支持，图形计算器可以帮助学习数学有困难的学生更容易理解某些知识内容，在教师的引导下，对教材的某些教学难点、知识的内在联系可以较直观较清晰地去感受、去掌握，最终使它成为学生自主探究的工具，用它去发现问题、提出问题、解决问题，真正促进学生的学习。