2002年9月，蒙自县第一高级中学承担了，高中数学课程教材与信息技术的整合，课题实验资助项目《运用图形计算器改进高中数学教学模式的研究》，经过二年多的实践研究，在教育理论和实践上取得了一定的研究成果，有力地推动了我校数学教学改革的深入开展．现将课题实验情况报告如下：

一、问题的提出

（一）素质教育呼唤教学模式改革

《中共中央国务院关于深化教育改革，全面推进素质教育的决定》明确指出：实施素质教育的重点，是培养学生创新精神和实践能力．新颁布的数学课程标准中也把培养学生的创新精神作为教学目的之一．教学本无定法，教学模式也可以不同，但教学模式作为，在一定的教育思想、教学理论与学习理论的指导下，在某种教学环境和教学资源的支持下的教与学过程中各要素之间稳定的关系和活动进程结构形式，又无时不在影响着我们的教学，传统的数学教学模式具有重基础知识和技能训练的优点，但也存在着教师讲得多，学生想得少，重视解题教学而轻视知识形成过程，用大量重复的习题训练来提高解题技能等缺点，忽视学生的创新精神和实践能力的培养．这种传统的教学模式与素质教育的要求是背道而弛的．

将TI图形计算器引入课堂教学中，必将引起师生教与学方式的根本改变，为了使教学更好地达到素质教育的要求，更好地改善学生的学习，更好地提高教学质量，在TI手持技术支持的教学环境中，构建新型的中学数学教学模式是绝对值得尝试的一种研究．

（二）数学的本质特征决定了数学教学模式，传统的教学模式需要改进

美国著名数学教育家G.波利亚曾指出：数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看数学是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看来却像是一门实验性的归纳科学，荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：数学是在内容和形式的相互影响之中的一种发现和组织活动．从中可看到，数学不只是逻辑，还有实验和研究的过程．传统的数学教学强调逻辑论证，忽视实验、猜想和过程体验，这样的教学模式显然不利于学生对数学本质特征的理解，因此，在教学中更应该注重过程教学，加强，实验、发现、猜想、归纳，的意识．技术从来就不是数学的陌路人，回顾历史，许多数学发现、教育的重大改革往往与数学实验和新技术的使用密不可分，图形计算器以其丰富实用的数学功能为教学中数学模式的改进提供了强有力的技术支持．

（三）现代信息技术的发展和应用必然导致中学数学教学模式的改革

信息技术的迅猛发展已影响到社会生活的方方面面，技术影响教育，以计算机网络、计算机及其软件、图形计算器等为核心的现代教育技术的发展与应用给数学教育带来了前所未有的冲击，全美数学教师协会（NCTM）在2000年的《数学课程标准》中指出：数学教学应该使用现代技术来帮助所有学生理解数学，并为他们进入技术性日益增强的社会作好准备，我国《高中数学课程标准》更是要求普遍使用科学型计算器以及各种数学教育平台，加强数学与信息技术的整合．TI图形计算器具有多样化的数学功能、便携易操作等特点，是师生，做数学，的强有力工具，在技术与课程整合的教学中，实验、探究、发现等将成为学生重要的学习方式，教师则要把主要时间和精力花在用于为学生提供丰富的数学活动源泉、构建多元联系表示的学习环境等方面．这与传统意义下的数学教学有着根本性的区别，因此，信息技术与课程整合的教学必将导致数学教学模式的根本变革．

二、研究过程

（一）积极参加培训

本课题从2002年9月正式启动，在此之前，课题组教师多数没接触过TI图形计算器，更无利用图形计算器进行教学的实践经验，学校又远离其他实验学校，不便交流学习，因此，我们极为珍视全国信息技术教育中心白涛老师为云南省课题实验学校举办的各种培训，每次培训实验教师都参加．

2002年8月，陈浩、王旭、杨海涛三位老师到北京参加全国第一届TI手持教育技术与中学数学教学改革年会

2002年11月6日至8日，参加在昆明盘龙一中举办的《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）?数学》(以下简称，整合本，)第一册（上）教材及技术培训

2003年2月16日至18日，参加在云南蒙自一中举行的云南省项目实验学校课题课例展评、教材培训、课题实验交流与总结活动

2003年4月20日至4月23日，参加在昆明举办的，整合本，第一册（下）第5章，平面向量，的教材及技术培训；课题组老师陈浩向云南省各高中学校教师代表展示教学课例《指数函数的图象及性质》

2003年10月17日至19日，参加在云南省曲靖市举办的，整合本，第一册（上）、第二册（上）的教材及技术培训

2004年3月4日至7日，参加在云南蒙自一中举办的，整合本， 第一册（下）、第二册（下）教材及技术培训， 观摩专家示范课

2004年8月16日至18日，陈浩、王林、唐德绪三位老师到上海参加第三届全国TI手持教育技术与中学数学教学改革年会

2004年10月21日～23日，参加在昆明八中举办的实验学校公开课观摩及研讨，TI图形计算器等信息技术在，整合本，教学中的运用．

（二）制订课题组研究计划，稳步开展课题研究工作

1、开展研究课

课题启动后，课题组主要采取教学内容与教学模式相结合，非实验班与实验班相比校的作法，制定了每个年级每学期每个教师至少上一节研究课的计划，通过研究课进行三种基本教学模式的试验研究，同时，想就此达到课题组教师互教互学，共同切磋，快速提高的目的，近三年来，共进行了12节研究课．

2、加强现代教育技术理论学习，统一认识

通过课题组教师的集中学习、讨论，课题组确立了运用图形计算器改进中学数学教学模式应坚持的原则：主导—主体教学理论的原则;基于信息技术与课程整合思想的原则和优化教学效果的原则．TI图形计算器有探索、多重联系表示两大显著功能，利于学生在对数学的不断探索之中，建构自我的数学认识和更好地认识数学的本质特征．因此，构建新的教学模式的立足点必须是由教师的‘教’转变为学生的‘学’．

教学模式的生成有赖于教学实验，没有严格意义的教学实验，模式的假设就得不到演绎和验证．为此，‘数学实验’应该作为实验教师在课堂教学中的主要教学设计，教学设计的步骤是：情景导入──实验探索──形成概念(规律) ──概念(规律)应用．

三、研究成果

在进行，改变教学模式， 课题的研究过程中，我们重点进行了以下教学模式的研究．

（一）实验归纳模式

实验归纳模式是指在课堂教学中，学生在教师的引导下，根据教材内容，利用TI图形计算器，自主地做数学实验，通过对实验结果的观察、分析和讨论，归纳出规律或结论的教学模式．这种教学模式注重学生的动手能力、观察能力、概括归纳能力以及发现知识的策略和方法的培养．这种教学模式不仅充分体现了现代教学技术的作用，还使学生认识了 ，数学不仅是一门逻辑科学，也是一门实验科学，这一现代数学观．

例如，陈浩老师讲授‘指数函数的图像及性质’时，采用的教学设计是‘实验观察──分析讨论──归纳结论’，取得了较好的教学效果 ．

实验观察：

(1) 让学生任意取a > 1 ， 1 > a > 0 ，a = 1的值画图（图1，2）

(2) 取a=0， a < 0的值画图（图3，4）

学生对以上实验结果进行观察、分析和讨论，就不难归纳出指数函数中规定底数a＞0且的理由：

如果a=0， 当x>0时，a^x恒等于0，当x≤0时，a^x无意义；

如果a<0，在实数范围内，函数值不存在；

如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它没研究的必要．

根据图5，学生不但成功地总结出了课本中所列指数函数的性质，还发现了图象间的关系：以定点(0 ，1)为支点看，在y轴右侧，图象底大图高；在y轴左侧，图象底大图低； y=a^x和 y=的图象关于y轴对称．

正是因为图形计算器在教学中的参与，才使得学生由被动学习转变为主动学习得到了实实在在的落实，他们获得的结论不是教师强加的，而是他们通过‘做’数学后，自己分析、研究并归纳得出的，对通过亲身实践而获得的性质的记忆自然也就比较深刻了．

例如，万庆老师讲授‘函数图像的变换规律’时，教学设计采用实验、观察、归纳为主的‘学案教学’，充分调动了学生学习的积极性和主动性．

设计实验表格：让学生利用图形计算器在同一直角坐标系中画出f(x)=-x²+2x+3及按函数解析式要求变换后的函数图象，填入‘图例’栏中，观察所得图象的相互位置关系，归纳出图象的变换规律并填入表中．

传统教学受作图工具的限制，教师往往通过一两个函数为例，把诸如‘左加右减’这样的图象变换规律告诉学生，让学生呆板地去记忆，并强化应用．由于缺少亲历知识发生的过程，就使得学生对结论的正确性产生了怀疑，不能形成对知识认识的闭合回路，故学习过程比较波动，利用图形计算器，学生可以在短时间内做出大量的图象，获取丰富的信息，他们的操作、试验、猜想、发现等过程都变得具体而清晰，这就容易使学生通过自主的、积极主动的数学思维而成功地建构数学概念，有了这样的从感性到理性、从特殊到一般的认识过程，对教师再做出的严格的数学证明就自然容易接受了．

（二）探究式教学模式

探究式教学模式是指在教学过程中，解决了某个数学问题后，教师引导学生再对这个数学问题进行改造（改变题设条件，结论，或同类变形、附加条件等），利用TI图形计算器，引导学生自主探究新的结论或规律的教学模式．这种教学模式有利于学生发散性思维、学习毅力、创新意识和创新能力的培养．也有利于师生、生生之间的交流合作．

例如，李俊老师在解析几何一个轨迹探求问题的教学中，采用的教学设计是‘提出问题──探究轨迹──理论证明’

提出问题：一定长为a的线段，其两端A、B在x轴、y轴上滑动，求该线段中点M的轨迹

探求过程：（1）学生利用TI－92plus图形计算器中的几何画版作出图，如图6和图7，拖动点B在x轴上滑动，看到点M的轨迹是圆．

（2） 教师提问：若改变｜AM|:|MB|的比例，轨迹还是圆吗？

学生利用图形计算器自主探究，得出结论：如图8和图9，轨迹是椭圆．

　　 （｜AM|:|MB|＝1：2）　　　　　　　　 （｜AM|:|MB|＝2：1）

看到学生发现结论的喜悦而又想‘打破沙锅问到底’的表情，李老师引导学生作出理论证明：

定长为a的线段，其两端A、B在x轴、y轴上滑动，若｜AM|:|MB|＝，（ ＞0），求M点的轨迹．

解：设M点坐标为（），A（）、B（），则，，

由，得．

讨论：＝0时，轨迹为圆，＞1时，轨迹为焦点在x轴上的椭圆，0＜＜1时，轨迹为焦点在y轴上的椭圆．

这堂课李老师把由计算机动画演示给学生看轨迹的形成，变成了有挑战性的、需要更多智力参与的、学生自主实验的探究课，使学生在学数学、做数学、用数学的过程中得到了和谐发展，充分体现了‘以学生发展为本’的教学理念．在高中数学教学中，运用TI图形计算器精心设计一些探索活动，是一种能开发学生的智力因素和非智力因素的较好的教育模式．

例如，胡宏光老师在讲解某些特殊的高次不等式，(x–x₁)(x－x₂ ) …(x –x_n )>0 (或 <0)的解法时，教学设计为：“提出问题──转化探究──改变条件──探求新知──归纳总结”．

提出问题：求不等式的解集．

转化探究：师生对函数、方程、不等式三者间的关系讨论后，将问题转化为求函数的图象在x轴上方的部分的横坐标的集合，所以，要求不等式的解集，关键在于了解函数图象．如图10，学生通过作图观察，发现了函数y＝(x–x₁)(x－x₂ ) …(x –x_n )的图象规律：

改变条件:若方程(x–x₁)(x－x₂ ) …(x –x_n )＝0有重根，图象还相同吗？

探求新知：学生利用图形计算器展开实验探究，归纳出两种情形：

(1) 方程有偶数个重根的情况，如图11和图12．

(2) 方程有奇数个重根的情况，如图13和图14．

归纳总结： y=0时的n个根将x轴分为n+1个区间，最右一个区间f (x) >0，其余区间函数值的符号从右到左‘负正相间’，有重根时，图象的特点是奇数根处图像穿过根而偶数根处图像不穿过根(简记为‘奇穿偶不穿’)．

胡老师对题目的改造，使问题变得更具吸引力和探究性，较好地激发了学生的好奇心和探究的欲望，很好地培养了学生的探究意识和能力．

（三）数学建模应用模式

数学建模应用模式是指师生通过对实际应用问题的分析，把它简化、抽象为合理的数学结构，利用TI图形计算器的功能，建立相关的数学模型，对数学问题进行求解的教学模式．这种教学模式有利于学生分析问题和解决问题能力的培养，有利于提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力．

例如，唐德绪老师以生活中的实际问题为题材，借助TI图形计算器，引导学生建立函数模型，解决实际问题．教学过程如下：

1、提出问题

下表是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表(单位：身高cm，体重kg)， 若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175cm，体重78kg，他的体重是否正常？

经过师生讨论，确立解题过程：将表中数据输入图形计算器，得出散点图，根据散点的走向趋势，再确定拟合函数的模型．

如图14，将数据输入TI图形计算器，然后得出的散点图（图15）．

3、拟合函数

经多次实验尝试，对拟合函数的类型产生了分岐：用函数y=a.b^x（图16，图17）或函数y=ax²+bx+c(图18，图19)拟合，从图形上看，都能较好地反映散点的变化趋势，哪个函数拟合得更好？

4、分析讨论

师生、生生展开了热烈的讨论，最后认为，可以分别用拟合函数的解析式y₁(x)和y₂(x)所求得的函数值与实际值C2的差的绝对值来比较两者接近程度的好坏．如图20，21，利用图形计算器易求得|y₁(c₁)-c₂|=C₃， |y₂(c₁)-c₂|= C₄， 显然，通过数据表看出，C₃列的误差比C₄列的误差要小，由此可见，函数y₁(x)的拟合效果要好一些，所以，所求函数解析式应为y₁(x) = 2.0041.020^x．

讨论中，有少数同学还提出，可以通过求误差的绝对值之和或者误差的平方和(最小二乘估计法)，然后看和的大小，如果和小则认为预测效果好．如图22，利用图形计算器可求得用f(x)=ab^x与f(x)=ax²+bx+c求出的函数值与真实值的误差绝对值的和分别为6.32与8.20，误差的平方和分别为2.19与8，同样说明，函数f(x)=ab^x的预测效果好一些．

得出拟合函数的解析式后，将x =175代入y₁(x) = 2.0041.020^x 中，求得y=63.98 ，由于78÷63.98≈1.22 > 1.2 ，所以，这个男生偏胖．

通过这次数学建模活动，学生不但掌握了通过建立函数模型解决实际问题的基本方法和步骤，而且极大地提高了学生对数学的兴趣，改变了他们对数学枯燥、难学、无用、只是训练思维的课程的看法，极大地增强了他们应用数学的意识和使用信息技术工具解决问题的兴趣和热情．

例如，李英老师利用线性规划的知识解决一个应用问题时，采用的教学设计是：提出问题──建立模型──应用模型求解．

数学建模：这是一个带限制条件的，包含不等式和函数模型的综合应用问题，由题意，可设生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么，x、y应满足如下约束条件

，且z=600x+1000y．

教师引导学生利用图形计算器作出以上不等式组所表示的可行域(图23中的阴影部分)，显然，使满足约束条件的利润函数取得最大值的(x，y)应在可行域内．

应用模型求解：利润函数z=600x+1000y可看成是以z为参数的一簇平行直线系，当直线经过可行域内的点，而又使纵轴上的截距最大时，z即为最大，此时，直线经过的可行域内的点的坐标(x，y)即为所求，作出直线l:(z=0)，通过作图实验可知，直线l经过点M时，z取得最大值，利用图形计算器求交点坐标的功能，可得M(12.43，34.42)，所以，当生产甲产品约12.4吨，乙产品约34.4吨时，可使利润总额最大．

利用图形计算器强大的作图功能，学生很容易作出可行域并能发现在何处取得最优解，这样，才使得师生可以从繁琐的作图过程中解放出来，赢得时间研究解决问题的策略和方法，才使教学效率得到提高．

四、需要进一步研究的问题

（一）TI83 plus图形计算器在今后的教学中如何更好地使用

课题的结题不应是研究的结束，而是更加深入研究的开始，由于我校绝大部分的图形计算器是TI83plus，相较TI92plus图形计算器功能不够完善（无“几何画版”等功能），这使教学中数学实验和探索活动的开展受到了一定的限制，如何最大限度地挖掘和发挥TI83图形计算器的功能，研究适合TI83处理的教学内容，如何与其他信息技术手段综合运用，使这些计算器更好地发挥在教学中的应有作用，更好地为下几届学生的教学服务是我们今后要深入研究的一个问题．

（二）需要加强数学与其他学科教学的结合

TI手持技术在物理、化学、生物学科中也有广泛应用，目前，我校在数学科中作了应用研究，取得了一定的成果和经验，为了使TI手持技术产品发挥更大的效益，下一步将把TI图形计算器与CBL、CBR等各种传感器结合，在物理、化学、生物学科中开展应用研究．

（三）如何利用TI手持技术，做好后进生的转变工作

通过二年多的课题实验发现，教学中运用图形计算器与数学课程内容整合的教学能够培养学生深层次的数学思维能力，利于数学能力的提高．但，整合，教学对学生的要求也相对较高，因此，在后进生身上没有收到教师预期的效果，做好后进生的转变工作是学校和每个教师义不容辞的责任，所以，如何精心设计数学实验和探究活动，如何更好地改变教学内容的呈现方式，如何借助TI手持技术提高后进生学习数学的兴趣，改变后进生学习数学的质量，是我们今后要深入研究的一个课题．