请每位同学在2003年12月31日之前，将从本节课所研究的问题中所获得的认识与体会，做成电子文件上传到学校《数学论坛》中的“几何中的理性思维”一帖中进行交流。

（六）教学反思：

1．本节课设想的让课前、课堂及课后成为学生完整的学习过程在本节课中得以体现，值得今后进一步研究与探索。

2．在课堂上尽可能地给学生创造交流机会，是改变学生学习方式的重要途径。

3．信息技术既是学生进行数学问题探究的重要平台，也是使学生主动参与学习的重要原因。同时，认知工具的进步，使得学生可以进行更高水平的数学思维，面对问题时的理性精神表现更为突出。

4．三个小组的学生在课堂上的表现，均表明它们既关注到了由数学实验产生的直觉思维，更重视了数学本身的理性思维。

5．本节课的上课地点应该由“计算机网络教室”改为“数学实验室”。

6．由于“计算机网络教室”实无网络系统，使得大多数学生的课前研究结果无法在课上交流，从而没有达到让更多的学生进行交流的目的。

7．五班第二小组的同学没有按规定的时间交流完本小组的研究结果，这表明该组学生准备不充分。

8．设计中的（6）、（7）两部分，宜作为学生课后研究的问题，这样可使课堂有更多的时间让学生交流。

                                               （教学设计与执教者：郭慧清）

下面是学生课后留在深圳中学《数学论坛》上“几何中的理性思维”一帖中的一段话语：

学生发表的与这个课题相关的更多讨论请见：

88shenzhong88/bbs/forum/dispbbs.asp?boardID=57&ID=12460&page=7

案例2：算法教学案例─“进位制”

在广东、山东、海南、青海四省依照《高中数学课程标准》实施的高中数学新课程中，如何贯彻新课程理念，正确把握和实施高中数学教学，已成为每一个高中数学教师应该研究的课题。本教学案例选取“进位制”作为“算法初步”的教学内容，以教学设计的形式探索高中数学新课程的实施过程。

（一）教学设计意图

1．关注问题性、启发性，加强联系性

本课通过“猜生月生日”这一程序游戏创设教学情景，使学生自然提出问题：“这一程序是怎样设计的？”进而启发学生主动探索程序中的算法算理，从而引进数的进位制及其转化问题。教学过程中，由学生熟悉的十进制出发，引导他们分析得到“除10取余法”，再通过类比得到“除2取余法”，进而推广得到“除k取余法”，从而解决十进制转化为k进制的问题。在此基础上，再研究k进制转化为十进制的问题，最后解决两种不同进位制间的互相转化问题。这样设计的目的，是遵循认知规律，以问题引导学习，体现数学知识的形成与学生认知的过程性，加强数学知识间的联系性，促使学生主动探究，培养学生的创新意识和应用意识。

2．讲背景，讲数学，讲思想，讲应用，

在“猜生月生日”这个真实背景下，学生能真切地体会算法的作用与数学的力量，引入这个背景的意义，在于讲数学中的算法思想，在于应用算法思想解决实际问题。在课的设计与实施过程中，始终围绕“不同进位制间的转化”这一目标，让学生经历由探究算理，到抽象算法步骤，绘制程序框图，再到设计并优化程序的全过程，使学生明确自己是在学数学而不仅仅是在编程序或玩计算机，这一过程的主要目的是使学生得到算法思想的熏陶与提升。课后作业要求学生利用已学的知识与方法探究“猜生月生日”的算法与算理，意在讲应用，让学生关注数学的“源”与“流”，加强数学与事物间的联系。

3．注重数学课程与信息技术的整合，尝试改进教与学的方式

在教学过程中，师生充分利用TI图形计算器一起进行算理探索、程序设计、演示交流，这不仅使学生亲身体验了算法的实现过程，而且为改进教与学的方式提供了强有力的平台。在数学课程与信息技术的整合中坚持贯彻“必要性”、“平衡性”、“广泛性”、“实践性”、“实效性”等原则。

（二）教学任务分析

1. 通过“进位制”这一案例的教学，使学生进一步加深对算法含义的认识：

（1）算法通常是指可以用计算机来解决某类问题的程序或步骤（可行性）；

（2）算法中的程序或步骤必须是明确和有效的（确定性）；

（3）算法中的程序或步骤必须在有限步之内完成（有穷性）．

2．通过“十进制转k进制”与“k进制转十进制”的算理分析与程序框图，加深对算法的三种基本结构（顺序结构、选择结构、循环结构）的认识，正确理解与使用循环结构中的选择结构．

3．根据“十进制转k进制”与“k进制转十进制”的程序框图，利用TI图形计算器的程序语言写出程序，由此体会并正确选用算法语句（输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句）表达算法的步骤与算法的基本结构．

4. 通过“进位制”这一案例的教学，使学生熟悉用算法思想解决问题的基本步骤：

（1）用自然语言写出“算法步骤”；

（2）根据算法步骤写出“程序框图”；

（3）选用一种计算机程序设计语言，根据程序框图写出“程序”；

（4）上机验证程序的可行性，完善和优化算法．

（三）教学重点和难点

　　“十进制转k进制”与“k进制转十进制”的算理分析．

（四）教学基本流程

（五）教学用具

　　师生每人一台TI－92PLUS图形计算器，一块TI液晶显示屏，实物投影仪，投影机，投影屏幕．

（六）教学情境设计

1．生月生日表：

2．猜生月生日程序：

Birthday()

Prgm

Clrio

For i,1,2

　　If i=1 then

　　　　Disp “month”

　　Else

　　　　Disp “day”

　　Endif

　　Disp “ 16 17 18 19 20 21 22 23”

　　Disp “ 24 25 26 27 28 29 30 31”

　　Input “1 or 0?”,a

　　Disp “ 8 9 10 11 12 13 14 15”

　　Disp “ 24 25 26 27 28 29 30 31”

　　Input “1 or 0?”,b

　　Clrio

　　Disp “ 4 5 6 7 12 13 14 15”

　　Disp “ 20 21 22 23 28 29 30 31”

　　Input “1 or 0?”,c

　　Clrio

　　Disp “ 2 3 6 7 10 11 14 15”

　　Disp “ 18 19 22 23 26 27 30 31”

　　Input “1 or 0?”,d

　　Clrio

　　Disp “ 1 3 5 7 9 11 13 15”

　　Disp “ 17 19 21 23 25 27 29 31”

　　Input “1 or 0?”,e

　　Clrio

　　If i=1 then

　　　　a*2^4+b*2^3+c*2^2+d*2+e→m

　　Else

　　　　a*2^4+b*2^3+c*2^2+d*2+e→n

　　Endif

Endfor

{m,n}→l

Disp “birthday”,l

Endprgm

3．一个十进制数a除以10所得的商是b₀，余数是，即，则是a的个位数；

b₀除以10所得的商是b₁，余数是，即，则是a的十位数.

一般地，除以10所得的商是，余数是，即，则是a的从右往左数第n+1位数.

4．“十进制转k进制”的算法步骤：

第1步：给定十进制正整数a，确定转化后的进位k；

第2步：求出a除以k所得的余数、商，并分别赋值给r、a；

第3步：若a≠0，则重复第2步, 直到a=0；

第4步：将依次得到的余数从右往左排列起来，则得到k进位数.

5．“十进制转k进制”的程序框图：

6．“十进制转k进制”的TI程序：

（1）循环结构为当型结构：

g1310520()

Prgm

Clrio

Local a,b,r,k,x

“ ”→b

Input “x(10)=?”,x

Input “k=?”,k

x→a

If a=0 then

　　string(a) →b

Else

　　While a≠0

　　　　mod(a,k) →r

　　　　string(r)&b→b

　　　　int(a/k) →a

　　Endwhile

Endif

b&”(”&string(k)&”)” → b

String(x)&” (10)= “&b → b

Disp b

Endprgm

（2）循环结构为直到型结构：

g1320520()

Prgm

Clrio

Local a,b,r,k,x

“ ”→b

Input “x(10)=?”,x

Input “k=?”,k

x→a

loop

　　　mod(a,k) →r

　　　string(r)&b→b

　　　int(a/k) →a

　　　if a=0 then

　　　　　exit

　　　endif

Endloop

b&”(”&string(k)&”)” → b

String(x)&” (10)= “&b → b

Disp b

Endprgm

7．“k进制转十进制”的TI程序：

g1330520()

Prgm

Clrio

Local a,b,c,k,n,s,x

0→s

1→i

Input “k=?”,k

Input “x=?”,x

Dim(string(x)) →n

String(x) →a

While in

　　mid(a,i,1) →b

　　expr(b) →c

　　s+c*k^(n-i) →s

　　i+1 →i

Endwhile

Disp string(x)&”(”&string(k)&”)=”&string(s)”(10)”

Endprgm

（教学设计与执教者：郭慧清）

（八）后记

本案例的设计者根据设计实施了课堂教学，感谢广东省一百多位高中数学老师亲临听课并指导，特别感谢人民教育出版社的宋莉莉老师在听完课后与授课者进行了交流，并给出了如下的评价：

“‘进位制’一课是中学新增的“算法初步”的内容，这堂课的设计与实施，值得我们认真研究和思考。总体看来，本堂课具有较高的教学质量，这与教师的精心设计和学生的配合是分不开的。具体分析，以下几个方面特别值得我们借鉴：

1. 引入精彩，展开自然。能准确猜出学生的生月生日的程序引起了学生极大的兴趣，“这个程序的算理就是本堂课的内容”又把学生带入了课题，而课后作业“设计猜生月生日的程序”既与引入相呼应，又是本课内容的自然应用。

2. 教学重点突出，过程流畅自然。本堂课紧紧围绕“进位制的转换”这个重点，环环相扣，引人入胜。由学生熟悉的十进制出发，引导他们分析得到“除10取余法”，再将这一算法的算理进行迁移，得到“除2取余法”，进而得到“除k取余法”，从而解决了十进制转化为k进制的问题。师生接着研究了k进制转化为十进制的问题，最后解决了两种不同进位制间的互相转化问题。

3. 重视学生的亲身体验，培养学生的算法思想。在教学过程中，师生利用TI图形计算器一起进行算理探索、程序设计、演示交流，使学生亲身体验了算法的实现过程，让学生经历了由探究具体问题的算理，到抽象出算法步骤，绘制出程序框图，再到设计并优化程序的全过程，使学生的算法思想得到了熏陶与提升。”

六．课题研究与实验获得的基本结论

信息技术的发展深深地影响着整个世界，也深刻地改变了数学世界. 信息技术使当今数学变得更加现实，使数学模型思想发展到了前所未有的水平. 在信息技术的支持下，数学家可把头脑中的“数学实验”变成现实，对精深的数学概念、过程进行模拟. 再难的计算、复杂的方程，只要给出算法就能得到解决. 复杂多变的几何关系，利用计算机动态的作图功能可以得到表示. 由此可见，信息技术使得数学思想容易表达了，数学方法容易实现了，数学与现实的联系更加紧密了.

数学与信息技术的相互促进与紧密结合，不仅形成了作为高新技术的核心成分和工具库的数学技术，也深刻地改变了数学的教和学的方式. 在利用信息技术创设的数学学习环境中，操作、观察、试验、猜想、发现等过程变得具体而清晰，尝试错误的成分减少，数学思维的目的性增强，数学推理的逻辑基础更加稳固，数学思考更具有程序性，这就极大地增加了学生通过自主的、积极的数学思维而成功建构数学概念、解决数学问题的可能性，并使以学生发展为本的教育理念得以实现.

通过三年的高中数学与信息技术整合的研究与实验，以及对《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）的体会，我们得到了以下一些基本认识。

（一）信息技术改变了数学的教学方式与学习方式.

信息技术可以为学生创造出图文并茂、丰富多彩、人机交互、即时反馈的学习环境. 在这样的环境中，外部给学生的刺激具有多样性和综合性，既看得见又听得着，还可以动手操作，这有利于学生调动多种感官协同作用，对数学知识的获取和保持具有重要意义，也是数学教学方式与学习方式转变的具体体现.

在利用信息技术创设的教学环境中，教师教学行为更多的表现是由原来的板书与语言表述转化为引导学生对数学对象进行观察、归纳、思考和发现。例如，在传统的教学中，由于技术条件的限制，在研究指数函数的性质时，通常是在教师（或教科书）的要求下，学生用“描点法”（甚至只有教师用“描点法”在黑板上画图，而学生并不动手）作出有限的几个特殊函数的图象，然后就让学生观察这几个图象来讨论指数函数的性质．在这样的教学过程中，学生对于为什么要画这几个函数的图象，为什么有限的几个函数图象就可以代表一般的函数的图象，为什么要把底数a分为0＜a＜1和a＞1这样两类等等，都是不得而知的．这样的学习，不需要学生主动地提出问题，研究问题，过程比较被动．

在信息技术教学环境下进行指数函数性质的教学时，可以让学生任意取定一些底数a的值（不一定是2、3等简单数），然后利用计算器或计算机在同一直角坐标系中作出一批指数函数图象（如图1）：

图1

由于画函数图象节省了大量的时间，因而有更多的时间引导学生通过观察指数函数的图象去发现并归纳指数函数的基本性质．

教学中，不少教师习惯于用自己对数学的理解去取代

学生的理解，忽略了学生的认知特点，往往说出“这很简

单”，“显而易见”，“你怎么还不知道”等等不利于学生学习的言语，这不仅极大地挫伤了学生的积极性，而且由于认知障碍未解决，最终导致加大了学生的学习困难. 出现这些情况的原因，不外乎是教师没有深入了解所教学生的认知结构，过高地估计了学生的学习水平，或者是由于所教内容过于抽象，难于用言语、纸笔给出形象的表示而敷衍了事. 例如，在初中学习函数这一概念时，曾给出以下定义：“设在一个变化过程中有两个变量 与 ，如果对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数．”对这一定义，学生对“变化”、“唯一”和“对应”都不是容易理解的. 在高中，不仅要让学生回顾初中学习过的函数定义，还要进一步学习用集合与对应的语言刻画的函数定义，这样更增加了函数概念的抽象性。如果我们给学生安排以下学习情境，则问题将变得亲切和自然：

用计算器或计算机任意画出一个函数的图象，如二次函数的图象（如图2）：

图2

在的图象上任取一点P，测出点P的坐标（x，y），然后拖动点P的位置，观察点P的横坐标x与纵坐标y的变化规律．

通过以上活动，使学生清楚地看到函数描述了变量之间的依赖关系．在上图中，随着点P位置的改变，点P的横坐标x与纵坐标y都在变化，但无论点P在哪个位置，点P的横坐标x总对应唯一的纵坐标y．由此，使学生体会到，函数值y的变化总是依赖于自变量x的变化，而且是由x的值唯一确定，这对于学生理解函数的概念（特别是函数中的对应关系）是有明显帮助的。

上述活动，不仅为学生学习抽象的数学概念搭建了直观平台，更重要的是使学生被动接受的学习方式转变成了积极主动学习方式。

（二）信息技术是学习数学的重要认知工具

信息技术对数学教育所产生的影响是深层次的、前所未有的，它为数学的学习提供了传统手段无法比拟的认知工具，而且使学生的学习行为空前的个别化和高效。

在数学学习中，认识确定数学对象的要素对数学对象的影响是一个很重要的方面。比如，a、b、c是怎样影响函数的，j，ω，A是怎样三角函数y =Asin(ωx+j)的图象的，a、b、r是怎样影响圆的位置的，等等。下面以y =Asin(ωx+j)为例，我们利用信息技术来说明j，ω，A对函数图象的影响。

当j，ω确定，而让A变化时，利用计算器或计算机得出图3：

　　　　　　　　　　图3

由图3我们看到，A影响的是函数y =Asin(ωx+j)的图象上下振动的幅度。

当j， A确定，而让ω变化时，利用计算器或计算机得出图4：

　　　　　　　　　　图4

由图4我们看到，ω影响的是函数y =Asin(ωx+j)的周期。

当ω，A确定，而让j变化时，利用计算器或计算机得出图5：

　　　　　　　　　　　　　图5

由图5我们看到，j的变化是使函数y =Asin(ωx+j)的图象向左（或右）平行移动。

（三）运用信息技术是数学问题获得解决的重要途径

方程是否有解？如果有解，怎样求出它的解或近似解？在没有信息技术的环境中，上述问题是不好回答的。基于数学本身的发展和解决实际问题的需要，《标准》要求高中学生会利用“二分法”求上述方程的近似解。

我们可以通过方程的根与相应函数零点之间的联系，利用函数的知识求出函数的零点，并由此得出对应方程的解。

设f（x）＝lnx＋2x－6，用计算器或计算机作出函数的图象如下（图6）：

图6

从图6我们可以看出，函数f（x）＝lnx＋2x－6在区间（2,3）内有一个零点，即方程lnx＋2x－6＝0在区间（2,3）内有一个解。下面我们通过“二分法”求方程在（2,3）内的解的近似值。

利用计算器或计算机，通过改变自变量增加的步长得出下列表格：

　　　（步长为0.015625）　         　　　　　　　（步长为0.00390625）

从以上表格可以快捷地得到方程lnx＋2x－6＝0在（2,3）内的近似解为2.54。上述过程，如果没有计算器或计算机是难以完成的。

（四）信息技术为数学探究搭建了有利平台

《标准》指出：“数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。”利用信息技术能更有效地进行“观察—探究—发现—猜想—验证—证明—拓广”的教学. 实际上，在信息技术支持下的教学设计中，探究和猜想可以成为数学学习的核心内容，学生可以验证自己的猜想，自己发现新命题，并在这个过程中获得逻辑证明的思路，从而丰富自己的数学经验，提高直觉能力和想象力.

在对数运算性质的教学中，从以往的教学实践看，学生对对数的运算性质容易想当然，如认为log_a（M±N）＝ log_aM±log_aN，log_a（M·N）＝ log_aM·log_aN，log_a＝， log_aMⁿ＝（log_aM）ⁿ等．产生这种现象，主要是没有让学生经历这些知识的形成过程，让学生自己获取正确的结论。如果我们安排以下教学情景，以使学生经历知识归纳的过程，那么将使学生在对数运算性质上少犯错误：

请利用图形计算器或计算机探究式子是否正确？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例，并给出一个你认为与这个式子相关的正确式子．

学生通过上述探究可以获得对对数运算性质的更清楚的认识，因此，今后使用时可以少犯错误。

（五）信息技术是实现“多元联系表示”的重要纽带.

“多元联系表示” （multiple linked expression）对于学生理解数学有着重要影响. 其实质是对同一数学对象（数学的概念、法则、表达式、定义等等）给出多种不同表示，从而使数学对象不同方面的特征得到充分显示. 在信息技术环境中，“多元联系表示”的潜力之所以能得到充分发挥，重要原因是计算机强大的图形表示功能和代数运算功能，使抽象的符号、复杂而零散的数据得到直观有序的表示，并且可以对数学对象直接进行操作（如局部放大、变换研究对象的空间排列位置、重复引起变化的关键因素、动态显示等），从而对其细节进行观察，这就使学生发现数学对象不同方面的内在联系的机会大大增加，并为理解其本质特征奠定坚实基础. 在这样的环境中，学生可以在教师的引导下，在把握数学对象不同方面特征的基础上，将不同表示法中蕴含的信息组合起来，大大增加了数学对象不同方面的联系，并加大了把握数学对象本质特征的可能性.

在信息技术所提供的“多元联系表示”的学习环境中，可以极大地拓展学生数学学习空间，有力地支持学生的学和教师的教，使学生的数学认知过程变得自然且印象深刻，使高水平的、深层次的数学思维活动获得有力的支持，使学生自主探究式学习成为可能并得到落实，并能有效地激发学生的数学学习兴趣，使学生学得更加生动活泼，更加富有成效.

学生在学习函数的概念时，函数三种常用的表示方法（解析法、列表法和图象法），其实就是函数的多元表示．在传统教学中，由于函数的图表实现起来比较困难，故经常只给出函数的解析式表示. 若涉及图表，就只是几个常用的初等函数. 学生在这样的学习环境下对函数的认识是单薄的和不全面的.

利用图形计算器或计算机的图形功能和表格处理能力，可以方便地建立函数的三种表示法之间的联系. 例如，对给定解析式的函数，利用图形计算器的表格功能，可以方便地得到从任一起点开始，自变量等间隔地取值所对应的函数值列表（这样的表格是可以往下连续翻页的，如图7）：

　图7　　        　　　    　　　　　　　　　图8

利用图形计算器的函数图象功能，可以快捷地画出函数的图象（如图8）.通过对上面表格的观察，我们会发现，随着自变量 的不断增大，函数值在不断减小，这与图8中当时图象下降是一致的. 这样，就建立了这两种表示法之间的内在联系. 在学完函数的单调性后，还可利用单调性定义将以上两种表示与函数的解析式统一在一起. 在这样一种环境下，学生对函数的认识是丰富的和全方位的，留下的印象也是深刻的.

通过“高中数学课程教材与信息技术整合的研究与实验”及“信息技术环境下的数学教学设计”课题的研究，课题组的人员充分认识到学生是数学学习的主体，是数学意义的主动建构者；教师是教学情景的设计者、教学活动的组织者、学生数学活动的指导者和数学思维的促进者；教材等学习资源不仅是教师教学的内容，而且也是学生建构数学意义的对象；以信息技术为代表的教学媒体是师生用来创设教学情景、组织学习材料，帮助数学思维、进行合作交流的认知工具. 因此，在使用信息技术创设数学教学情景时，要充分注意贯彻“必要性”、“平衡性” 、“广泛性”、“实践性”、“实用性”等原则. 特别值得注意的是，要把握好以纸笔运算、推理、作图等为主要手段的数学学习与在信息技术支持下的数学学习之间的平衡，既使数学中的基础知识和基本技能得到落实（这里必须有学生亲自动手进行运算、推理、作图等的实践），同时，又要充分发挥信息技术的优势，为学生开拓观察、思考、归纳、猜想的空间，使学生有更多的时间和机会从事高水平数学思维、理解数学本质的活动.

七．需要进一步研究的问题

以下问题需要在今后的高中数学新课程改革与数学教学实验中进一步研究并加以解决。

1．学校信息技术环境跟不上课程与信息技术整合的发展要求，很多学校不能做到让学生在学习需要信息技术帮助时“恰时恰点”地用上信息技术。引起这一现象的一个重要原因是现行的高考不准考生使用信息技术工具，而使用信息技术工具学习的学生的信息素养在高考不仅得不到帮助，而且由于平时学习中解决问题的方式与习惯的差异，担心高考中成绩受影响；另一个重要原因是学校的硬件设施跟不上要求。目前大多数学校的信息技术环境（如数学实验室等）呈量少且固定的特点，而学生的数学课学习呈量多且移动的特点，这一矛盾的存在，不仅使得学生同时使用信息技术受到局限，而且往往是需要使用信息技术的时候身边没有信息技术环境。

2．加强高中数学课程与信息技术的整合，提高教师的认识与信息素养是关健。目前在数学课堂上使用信息技术的频率低，一个重要的原因是教师没有认识到数学课程与信息技术整合的重要性，对身边的信息技术掌握不好，担心使用信息技术影响自己的教学节奏，因而有“能不用就不用”的态度。这样做的结果不仅自己的信息技术素养得不到提高，同时也限制了学生对信息技术与数学学习的关系的认识。

3．高中数学课程与信息技术整合是广东、山东、宁夏、海南四省正在进行的高中数学课标课程试验中需要认真研究的问题。在数学课标课程的必修模块中，许多教学内容是课标提倡使用信息技术的，而像“方程的近似解”、“函数模型与应用”、“算法”、“统计”、“概率”等内容不用信息技术更是难以实现教学的，即使完成了教学任务，教学的效果也是大打折扣的。比如“算法”的教学，如果学生没有信息技术环境，那么他（她）的学习只能是局限在大脑中的推理与想像，对自己设计的算法是难以验证甚至无法验证其正确性的，当然更谈不上产生优化算法的冲动并实现自己算法的优化。

八．研究成果