我们现在考虑两个数列：

n：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，…

n²：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，…

我们用S（k）来表示那些整数，可以用k个平方数的和来表示的集合。

例 S（2）={1，2，4，5，…}

读者如果注意观察会发现凡是形如 4k+3的整数都不在S（2）里面。

S（3）有什么整数呢？首先1是在里面，1=1²+0²+0²，2也是在里面，因为2=1²+1²+0²。3也可在里面，因为3=1²+1²+1²。4=2²+0²+0²，5=2²+1²+0²，6=2²+1²+1²所以4，5，6都在S（3）。但是你会发现7不在S（3）里。

如果你多次观察你也会发现凡是形如 8k+7的整数都不在S（3）里。

S（4）是包含什么样的东西呢？答案是：所有的自然数。这是法国数学家拉格朗日（Lagrange 1736－1813）在 1770年证明的一个有名的定理。

要证明整数形如 4k+3不在 S（2）里，及形如 81+7不在S（3）里是否会很难呢？我想不会太难，我们用同余就可以协助我们解决。

我们知道自然数可以根据同余分成四个部分

[0]₄=那些是4的倍数的整数集

[1]₄=那些形如4k+1的整数集

[2]₄=那些形如4k+2的整数集

[3]₄=那些形如4k+3的整数集

由于（4k+1）²=（4k）²+2（4k）+1=4（4k²+2k）+1

（4k+2）²=（4k）²+4（4k）+4=4（4k²+4k+1）

（4k+3）²=（4k）²+6（4k）+9=4（4k²+6k+2）+1因此在[0]₄的数，平方后仍旧在[0]₄表面不会跑掉。因而[1]₄里的数也是平方后仍在原来的老巢里。但是在[2]₄里的数，一平方后就飞到[0]₄里去了。[3]₄的数也是一样，平方后溜到[1]₄中。

由此我们知道：任何数一平方后，要不是形如 4k就是形如4k+1。

现在看两个平方数x，y的和。可能情形有三种：

第一种：x是形如4k，y是形如4k，x+y当然是形如4k

第二种：x是形如4k，y是形如4k+1，x+y当然是形如4K+1

第三种：x是形如4k+1，y是形如4k+1，x+y当然是形如4k+2

这三种情形都没有4k+3的样子，这就是说凡是形如4k+3的整数一定不能表示成两个平方数的和。

你看我们不是解决了S（2）的情形，关于在S（3）中不包含8k+7的形状的数的证明，留给读者自己练习。你看我们是怎么样对S（2）的情形考虑，类似处理S（3）的情形，动脑筋想一想就可以很容易解决了。