1．思维的深刻性。

数学思维的深刻性是学生对实际事物中的数学关系进行抽象概括而获得数学问题，对具体数学材料、数学问题进行分析概括而得出数学模型，选择恰当的数学方法、用合适的数学计算求出此模型的解或近似解，以及对解的实践检验、对模型的修正等过程中，思考的广度、深度、难度和严谨性水平的集中反映。也即在数学知识的学习与应用过程中，在对事物的观察、比较、分析、综合、抽象和概括的过程中，在归纳、演绎、类比等推理过程中，在对自己的数学思想方法的阐述过程中，都会体现出思维深刻性的差异来。“刨根问底”、“打破沙锅问到底”是深刻性的写照，“去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里”也是深刻性的体现。

小学生数学思维深刻性的发展主要在运算过程中体现出来：第一，寻找“标准量”的水平逐渐提高，推理的间接性在不断增强；第二，不断掌握运算法则，对事物数量变化规律性的认识不断加深；第三，不断提出“假设”，自编应用题过程中的抽象逻辑性在不断提高。中学生数学思维深刻性的发展主要表现在从具体事例中也纳问题的本质，通过分析、比较、类比等活动抽象出概念、原理或解题方法，善于开展系统的理性思维等的不断发展。

2．思维的灵活性。

思维灵活主要是指能够根据客观事物的发展与变化，及时调整自己的思路，改变已有的思维过程，寻找新的解决问题的方法。所以，数学思维的灵活性主要是学生在数学思维活动中，思考的方向多、过程活、思维技巧能够适时转换，即思维的应变能力强。数学学习中思维灵活性往往表现在随着具体条件而确定解题方向，并能随着条件的变化而有的放矢地转化解题方法；表现在从新的高度、新的角度看待已知知识；还表现在从已知的数学关系中看出新的数学关系。思维的灵活性与思维的发散性有一致的地方。发散思维的特点是多开端、灵活、精致和新颖。例如，能够给出一个数学问题的多种不同解答，就是思维具有发散性的表现。所以思维的灵活来自于求异思维，而求异思维又来自于迁移。因为灵活性越大，思维的发散性越好，越能多解，说明迁移的效果越显著。“举一反三”是高水平的发散，正是因为有知识的迁移。而迁移又来自于概括。成语有“触类旁通”，“旁通”是灵活迁移，而“旁通”的得来需要“触类”，这个“类”又需要通过概括才能获得。

小学生在数学运算中思维灵活性的发展趋势是：一个问题的不同解法的数量在增加；灵活解题的精细性增加，即解题不仅方法多而且正确程度高，思维过程中不是机械重复，而是根据思维对象的具体特征进行灵活运算；组合分析水平在提高。中学生数学思维灵活性品质继续发展，具体问题具体分析、“举一反三”、思维发散都有较大发展，而且有稳定性，男生优于女生。

3．思维的独创性。

创造性思维、智力创造性、独创性或创造力可看作同义语，实质都表现在“创新”或“创造”上，即一种现象的多种表现形态。如果强调创新的过程，则为创造性思维；如果强调个体间创新的差异，则为创造性或独创性；如果强调人的创新能力的大小，则叫创造力。思维的独创性是人类思维的高级形态，它是在新异的问题情境中，在一定目标的指引下，调动一切已知信息，独特、新颖且有价值地解决问题的过程中表现出来的智力品质；思维的独创性品质也可以从用新颖、独特的方法解决熟悉问题的过程中表现出来。在人类社会生活的一切领域和活动中，从幼儿游戏、学生学习到成人工作、科研等，都需要智力的创造性，任何创造、发明、发现、革新都与智力的创造性紧密相联。

创造性思维有如下五个突出的特征：（l）新颖、独特且有意义。“新颖”是指不墨守成规，前所未有；“独特”是指不同凡响，别出心裁；“有意义”是指有社会和个人价值。创造性思维的这一特征在数学学习的整个过程中都会表现出来。例如，在面临问题时能够从与众不同的角度进行观察，能够看出问题中隐藏着的关系而提出新的问题，能够抓住问题中条件、结论的特有联系而提出别出心裁的解题方法，能够把一种熟知方法应用到新领域，能够用独特的语言对解题过程进行表述，等等。（2）思维加想象，即通过想象对问题所涉及的各方面及其联系性进行思考，对事物的发展过程作出估计，对解题方法进行构思，对某一数学方法的适用性作出判断，对结果的合理性作出评价，等等。因此，数学教学的整个过程都与学生的想象力有紧密关系。（3）在创造性思维过程中，新形象或新假设的产生带有突然性，常被称为“灵感”。灵感是对某个问题长期坚持思考、付出巨大劳动的结果，它与创造动机和对思想方法的不断寻觅有紧密联系。灵感状态的特征，表现为人的注意力完全集中在创造对象上，所以在灵感状态下，创造性思维的工作效率极高。当然，中学阶段，学生的灵感还很不明显，但中学生的有意注意已经得到发展，这是灵感的基础之一。所以，就创造性思维的培养来说，在中学阶段，培养学生的有意注意是非常重要的。（4）分析思维和自觉思维的统一。分析思维是按部就班的逻辑思维，即根据严密的逻辑规则，逐步推导以获得符合逻辑的正确答案或作出合理判断；而直觉思维是直接领悟的思维，这种思维具有快速、跳跃和直接的特点，推导过程高度简缩。数学创造中，直觉恩维是非常重要的。（5）发散思维与辐合思维的统一。发散思维有多开端、灵活、精细和新颖等特点，是创造性思维的基础。提出多种假设、寻找多种解题途径，探究问题的各种可能答案，对于创造性地解答问题是非常重要的；辐合性思维有沿着确定方向思考的特点，其中既有记忆、表象，又有思维的深刻性品质。这是创造性思维不可缺少的前提，而且发散思维提出的假设、结论需要集中，发散思维的方向需要由辐合思维来确定，另外，思维的最终结果是依靠辐合思维得到的。因此，创造性思维是辐合思维与发散思维的统一。

小学生在运算中思维独创性主要表现在独立性、发散性和有价值的新颖性上。其发展趋势，在内容上，从对具体形象材料的加工发展到语言抽象材料的加工；从独立性上，表现出先易后难，从模仿，经过半独立性的过渡，最后发展到独立性。中学生的独立编题能力迅速发展，编题的抽象概括性也在发展，寻找新颖解题方法的水平也在提高；初中生还没有解题时的创造灵感表现，而高中生同有灵感的萌芽。总之，中学阶段数学思维的独创性在迅速发展，但还不成熟。它的成熟比其它思维品质要晚些。

4．思维的批判性。

思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的思维品质。“知其然，知其所以然”就是思维批判性的表现。心理学家认为，它有五个特点：（1）分析性，即在思维活动中不断地分析解决问题所依据的条件，反复验证业已拟定的假设、计划和方案；（2）策略性，即能够根据当前任务的需要，调动自己已有的知识经验，将它们组织为相应的解题策略或手段，并使它们在解题中发挥作用；（3）全面性，即在思维活动中能够客观地从各个侧面考虑问题，把握问题的进展情况，善于进行自我评

价，坚持正确计划，随时修改错误方案；（4）独立性，即不为情景性暗示所左右，不迷信权威，敢于对权威的观点提出疑问，不人云亦云、盲目附和；（5）正确性，即思维过程严谨，条理清晰，思维结果正确，结论实事求是。

思维的批判性是思维过程中自我意识作用的结果。通过自我意识的监控，人们不仅能认识自己的思维过程，而且也能根据活动要求，及时调整思维过程，修改思维的课题和解决问题的手段。这里存在着一个主体主动地进行自我反馈的过程，从而提高了思维活动的效率、自觉性和正确性。所以，思维的批判性体现了一个人的思维活动水平。数学学习好的学生是善于反思学习过程的。

小学生的思维批判性水平很低。中学生的批判性在明显增长，他们的独立思考能力在提高，敢于大胆发表自己的见解。喜欢怀疑、争论、辩驳和提出一些新奇的想法。初中生和高中生的批判性有区别。初中生开始有意识地检验、调节自己的思维过程，但这种检验调节的水平较低，他们的思维容易产生片面性、表面性。高中生思维的批判性明显提高，他们对事物的本质特征感兴趣，而且要求自己在取得充分论据、进行有说服力的逻辑论证后再提出自己的观点。

5.思维的敏捷性。

思维的敏捷性是指思维过程中正确前提下的迅速和简捷。有了思维的敏捷性，在处理和解决问题的过程中就能根据具体情况进行积极思考，正确作出判断并迅速作出选择。这就要求人的认知结构系统化、结构化，具有清晰性、稳定性和可利用性一旦需要便能迅速而正确地进行检索和提取。

在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为能够缩短运算环节和推理过程，而这又有赖于在正确前提下的速度训练。经过练习，从中总结经验，进而概括出规律。并通过应用而达到熟练的程度，从而产生思维的敏捷性。因此，敏捷性又与概括性紧密相联，推理的缩短取决于概括，“能‘立即’进行概括的学生，也能‘立即’进行推理的缩短。”

小学生数学思维敏捷性的发展趋势主要表现为运算速度在不断提高。值得注意的是正确与迅速并不能完全一致，思维的敏捷性主要是思维的速度问题。中学生在数学运算中的敏捷程度有显著的个性差异，而且从初二开始，随着年级的递增，差异越来越大。

上述五种思维品质相辅相成，密不可分，组成一个有机整体。其中，思维的深刻性是一切思维品质的基础；灵活性和独创性是在深刻性基础上引伸出来的两个思维品质，它们是交叉的关系，两者互为条件，不过前者更具有广度和富有顺应性，后者则更具深度和新颖性，前者是后者的基础，后者是前者的发展。思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的品质，只有深刻的认识、周密的思考，才能全面而准确地作出判断，同时，只有不断地进行自我批判、及时调节思维过程，才能使主体更加深刻地揭示事物的本质和规律。思维的敏捷性是以其它四个思维品质为必要前提的，同时又是其它四个品质的具体表现。