概念是思维的基本单位。由于概念的存在和应用，人们可以对复杂事物作简化、概括或分类的反映；由于概念是在揭示了经验的内在联系，获得了事物的本质特征以后形成的，所以概念增加了经验的意义。概念将事物依其共同属性而分类，依其属性的差异而区别，因此概念的形成可以帮助学生了解事物之间的从属或相对关系。概念也可以使人们在没有直接经验的条件下获得抽象观念，而这些观念可以用于新的情景分类，也可以用作同化或发现新知识的固着点，同时，概念之间也可以组成具有潜在意义的命题，因而概念的学习是最重要的学习课题之一。

一、概念学习概述

1.概念的定义

概念是哲学、逻辑学、心理学等许多学科领域的研究对象。由于研究角度的不同，因而各学科对概念的理解也有差异。例如，哲学中把概念定义为人脑对事物本质特征的反映，而心理学则把概念与人类的分类行为紧密地联系在一起。例如，行为主义者认为概念是有机体对相似刺激物或同类刺激物作出共同反映的能力，这种解释对初级的具体概念比较适宜，但它没有指出概念应该抽象出事物的本质属性；认知心理学则把概念定义为“符号所代表的具有标准共同属性的对象、事物、情境或性质”，这里的符号主要是指具有一般意义的词。例如，看到“圆”这个词，人们的脑子里立刻引起一般的圆的表象，它不是指某一个具体的圆，而是指抽象的圆，世界上并不存在这种离开具体圆的抽象圆，这时，“圆”这个词就代表了一个概念。现代认知心理学认为，概念具有发展性，随着知识结构的不断完善，学生对概念的理解就从具体水平向抽象性水平发展，从日常概念（有时这种概念是错误的）向科学概念发展。

概念通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。以概念“圆”为例，词“圆”是概念的名称；“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”是概念的定义；符合定义特征的具体图形都是“圆”的例子，称为正例，否则叫反例；“圆”的属性有：是平面图形、封闭的、存在一个圆心、圆心到圆上各点的距离为定长（半径），等等。

2.概念的分类

分类，就是依照某种标准，按“不重不漏”的原则，将事物划分为若干个类别。当然，这些类别之间具有内在联系性。这里的“标准”通常是事物的某一本质特征。

世界是由大量可辨别的物体、事件和人物组成的。世上不存在完全相同的两个人，所谓“一个人不能同时跨进一条河”说的就是事物随时间、地点、条件的变化而变化的道理。人类之所以能应付周围环境的随时变化，就是因为有分类能力。凭借这种能力，人们就可以将接收到环境信息做出分类，并利用类别做出推理，从而超越信息，达到认知（学习）的目的。例如，当学生遇到一个数学问题时，他首先会将问题归结为几何问题或代数问题等；对于几何问题，他又会进一步归结为平面几何或立体几何，然后又归结为是度量问题（求角度、长度、面积、体积等）还是关系问题（位置关系、大小关系等），再归结到三角形、四边形…，最后用具体知识解答之。因此，整个解题活动可以被看成一系列的分类过程。所以，分类是人类认知的基本手段，分类“就是要分别对待各种相同的事物，对周围的各种物体、事件和人进行归类，并根据它们这一类别的成员关系而不是它们的独特性对它们做出反应”，而类别则是人类认知的工具。学习和利用类别是一种最基本、最普遍的认知形式。人类是通过这种认知形式来适应环境的。

分类活动以掌握事物的关键属性为前提。分类活动必须符合一定的规则，这些规则是：（1）要以本质属性作为标准的。如“凸平面四边形”的本质属性有：平面图形、封闭的、四条边、四个角、凸图形等。（2）指明本质属性的组织方式。如四条边共面、组成首尾相连的封闭图形、任何一条边向两方延长其他各边都在延长所得直线的同侧，等。（3）要确立公认的限制条件。如凸平面四边形可以有大小、形状等差别，但它只能有四条边，这是公认的限制条件之一。（4）要权衡各种不同的属性（即哪些是本质属性，哪些是非本质属性）。例如，四条边的长短、四个角的大小都不是本质属性。

在概念学习过程中，分类活动占有非常重要的地位。分类是概念获得的基础，是对概念的内涵进行认识的过程；分类活动有助于学生更深刻地理解概念之间的关系；分类活动有助于学生从整体上把握概念；分类是概括的基础，因此分类活动有助于提高学生的概括能力；通过分类，可将事物依其属性而归类，依其相互之间的联系而成系统，而类别清晰、逻辑关系明确的概念系统有利于记忆和检索。能否依据本质属性对事物进行恰当的分类是衡量学生是否已经习得概念的标准。所以，教师必须十分重视概念分类这一环节。

人们从事分类活动时，一般是根据问题的各种属性及其关系做出判断的。那么，人们是如何组合各种属性从而做出分类的呢？心理学家认为，组合不同属性的方式有三种，它们分别代表了三种类型的概念：一是“联合属性”，即几种属性联合起来对概念来下定义。这样所定义的概念称为“合取概念”。例如，“映射”就是一个合取概念：设A、B是两个集合，|:A?B是一个对应法则，如果对于集合A中任意一个元素a，通过法则|，在集合B中都有唯一的一个元素b与之对应，则法则|称为从集合A到集合B的映射。这里，对于集合A中任意一个元素a，通过法则|，在集合B中不但有元素与之对应，而且是唯一的，“有”和“唯一”就是两个属性。二是“单一属性”，即在许多事物的各种属性中，找出一种共同属性来对概念下定义。这样所定义的概念称为“析取概念”。例如，在“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”中“析取” 共同属性“从顶点向两侧伸长的两叶圆锥面和任一平面相交而成的曲线” 就定义了“圆锥曲线”。三是“关系属性”，即以事物的相对关系作为对概念下定义的依据，如此定义的概念称为“关系概念”。例如，“正方形”就是一个关系概念，它既要是凸四边形，又要求四条边相等，还要求四个角是直角。显然，在数学中，上述三种概念都是大量存在的。

3.数学概念的特点

数学的研究对象是现实世界的数量关系和空间形式，这种关系和形式是脱离了事物的具体物质属性的，因此，数学概念有与此相对应的特点。

（1）数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式，它是排除一类对象物理属性以后的抽象，反映了一类对象在数与形方面内在的、固有的属性，因而它在这一类对象的范围内具有普遍意义。

（2）数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，并且都由反映概念本质特征的符号来表示，这些符号使数学有比别的学科更加简明、清晰、准确的表述形式。数学概念的这种特性使学生在较短时间内掌握大量数学概念及其系统成为可能。例如，在数学发展史上，数系的建立经历了两千多年，如今，学生凭借现有的数的符号，可以在较短的时间内掌握数系的全部概念。而在中国数学的发展史上，由于没有发明简明的数学符号而使数学的发展受到极大阻碍的例子是非常多的（如以一、二、三、四、五……作为数的符号，在书写和运算上均不如用1、2、3、4、5……方便），这说明在数学的发展中引进恰当的符号来表示概念是非常重要的，这是数学概念的一个重要特点。

（3）数学概念是具体性与抽象性的辨证统一。一些数学基本概念是一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的抽象，具有明显的直观意义，但通常以形式化语言来表述；数学中有许多概念是在抽象之上的抽象，是由概念所引出的概念（如1、2、3是对真实事物的直接抽象，而那些较大的数则是建立在已有概念的抽象分析之上：对于“已知x，则可得x+1”的理解使人们可以获得自然数的无限序列：1，2，3，…，n，n+1，…）；数学中还有许多概念是“思维的自由想象和创造的产物”，它们与真实世界的距离是非常遥远的，如“虚数”、“n维空间”等。所有这些都说明，数学是高度抽象的。但另一方面，数学概念又是非常具体的，任何一个数学概念的背后都有许多具体内容支撑着。学生只有掌握了数学概念的定义，同时又能够举出概念的具体事例，才算真正掌握了数学概念。

（4）数学概念具有很强的系统性。前已指出，数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。公理化体系就是这种系统性的最高反映。数学概念的这种特性要求学生在数学学习时必须做到循序渐进，一步一个脚印，扎扎实实地打好基础。

值得指出的是，数学概念的特点不能与个体所掌握的数学概念的特点相混淆。个体所掌握的数学概念是与他本人的数学认知结构水平相适应的，即同一个数学概念，由于认知结构水平的不同，存在着不同水平的理解。例如“函数”概念，初中学生只能作“对于给定区间上的每一个x值都有唯一的一个y值与之对应，则y就是x的函数”之类的直观理解，而高中学生就可以用集合的语言，从映射的观点出发来理解，大学生则可以用“关系语言”来理解它。这种抽象水平的层次性反映了学生数学认知结构水平对概念掌握的制约性，这是教师把握概念教学要求的依据之一。

二、数学概念的获得

1.概念获得的不同形式

学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同本质属性的过程。例如，学习“棱锥”这个概念，就是掌握：凸多面体、底面是多边形、侧面是有一个公共顶点的三角形等这几个关键属性。同类事物的关键属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中独立发现，这种概念获得的方式叫做概念形成；也可以用定义的方式向学生直接揭示，学生利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，这种获得概念的方式叫做概念同化。概念形成与概念同化是两种基本的概念获得方式。

通常，由于数学学习是掌握前人已经发现的数学知识，把前人的数学活动经验转变成自己的经验，使其成为自己解决问题的工具的过程，因此概念同化是学生获得数学概念的最基本的方式。但是，由于学生的认知结构处于发展过程之中，他们的数学认知结构比较简单、数学知识比较贫乏而具体，在学习新的数学知识时，作为“固着点”的已有知识往往很少或者不具备，这时他们就只能采取概念形成的方式来学习。另一方面，随着年龄的增长，知识经验的不断丰富，学生所掌握的概念系统也从具体到抽象、从简单到复杂、从未分化到分化、从分散到统一地连续不断地获得发展，相应的，学生获得概念的方式也在发生变化。年龄越小，认知结构越简单而具体，概念形成的方式就用得越多。

2.概念形成

概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。概念形成过程可概括如下：

（1）辨别各种刺激模式。这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。但不管是哪种刺激模式，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。例如，形成矩形概念，先让学生辨认他们所熟悉的实例，象桌面、墙壁、黑板、书本等的表面。

（2）分化出各种刺激模式的属性。为了理解该类刺激模式的本质属性，就需要对各种刺激模式的各个属性予以分化。例如，桌面是木制的，可看成是四边形，两组对边分别平行并且相等，四个角相等，等。墙壁黑板、书本表面等也有各自的属性。

（3）概括出各个刺激模式的共同属性，并提出它们的共同关键属性的种种假设。上例中，共同属性有：可抽象地看成平面四边形；四个角相等；两组对边分别平行并且相等；等等。共同关键属性可假设为：a.两组对边分别平行并且四个角都是直角的四边形是矩形；b.两组对边分别相等并且四个角都是直角的四边形是矩形；c.四个角都是直角的平面四边形是矩形；等等。这里，提出关键属性假设的方法是一条或几条共同属性的结合。

（4）在特定的情境中检验假设，确认关键属性。检验过程中，采用变式是一种有效手段。如上例中，通过变式可以发现，三个假设在各种变式中均出现，因而都可确认为关键属性。

（5）概括，形成概念。验证了假设以后，把关键属性抽象出来，并区分出有从属关系的关键属性，使新概念与认知结构中的已有有关观念分化，用语言概括成为概念的定义。上例中，a、b中的“四个角都是直角”与“有一个角是直角”具有从属关系，而四边形只要有“两组对边分别平行”及“一个角为直角”，那么就能推出“两组对边分别相等”和“四个角都是直角”，因此只要取前两个关键属性即可。于是将矩形定义为“两组对边分别平行并且有一个角为直角的四边形”。

（6）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。这既是在更大范围内检验和修正概念定义的过程，又是一个概念应用的过程，从中我们可以看出概念的本质特征是否已经被真正理解。因此在这个过程中，我们可以用一些概念的等值语言来让学生进行判断和推理。上例中，“对角线相等并且平分”就是矩形的等值语言。事实上，这个过程是使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关观念建立起实质性联系的过程，因此这是概念形成的一个非常重要的步骤。

（7）用习惯的形式符号表示新概念。通过概念形成的上述步骤，学生比较全面地了解了概念的内涵，而且还掌握了许多概念的具体例证，对于概念的各种变式也有了较好的理解，总之，学生对概念的内涵和外延都有了比较准确、全面的理解。这时，就应该及时地引进数学符号。引进数学符号以后，应当引导学生把符号与它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的概念及其本质特征。事实上，如果概念的符号能够与概念的实质内容建立起内在联系，那么，符号的掌握可以提高学生的抽象能力、概括能力。数学中的逻辑推理关键就在于能够合理、恰当地应用符号，而这又要依靠对符号的实质意义的把握。在概念学习中，形式地掌握符号而不懂得符号的本质涵义的情况是经常发生的，这时符号将使知识学习产生困难，导致数学推理的错误。例如在函数的学习中，对函数的一般表达式y=f(x)中x、y、f的意义不理解时，类似于f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)的错误是经常发生的。

用概念形成方式教学概念时，教师必须注意按学生的心理发展规律办事。首先，给学生提供的刺激模式应该是正例，而且数量要恰当；其次，向学生呈现刺激模式时，应该采用同时呈现的方式，以利于学生进行分析、比较，这样可以减轻学生的记忆负担；第三，要注意选择那些刺激强度适当、变化性大和新颖有趣的例子作为刺激模式，这样的刺激模式有利于学生进行深入的观察，展开积极的思维活动，对各个刺激模式的属性进行充分的分化，对刺激模式之间的各种属性进行比较，有利于培养学生从平常的现象中发现不平常的性质、从貌似无关的事物中发现相似点或因果关系的能力；第四，要让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成的规律，在分化和比较的基础上，引导学生及时对各个刺激模式中的共同属性进行抽象、并从共同特征中抽象出本质属性。及时对概念的本质特征进行抽象概括，有利于学生更加准确、迅速地掌握概念，因为这时学生还没有把智力动作与刺激模式中的无关特征联系起来的习惯，否则就有可能使无关特征得到强化，使学生将刺激模式中的无关特征当成本质特征，从而产生对概念的错误理解。第五，在确认了事物的关键属性，概括成概念以后，教师应该采取适当的措施，使学生认知结构中的新旧概念分化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概念所湮没。例如，学习三角函数中的“第一象限的角”这个概念以后，如果不及时与已有的“锐角”概念分化，则学生很容易把它与锐角等同起来；第六，必须使新概念纳入到已有的概念系统中去，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关观念建立起实质的和非人为的联系。这样可以使概念的记忆效果提高，有利于概念的检索，有利于用掌握的概念去吸收和理解新的知识。

在用概念形成的方式进行概念教学时，教师的语言中介作用很大，因为教师的语言引导可以使学生更加有的放矢地对概念的具体事例进行分析、归纳和概括。否则，学生就很可能会用“尝试错误”的方式去辨别、分化概念的具体事例，这样会减缓辨别的速度，使具体事例的各种属性的分化不充分，由此就会影响到概括的质量。另外，教师还应该设法用一定的教学情境来引导学生回忆和提取与概念学习相关的知识，激发新概念与已有认知结构的矛盾，引起学生的积极思维，使学生积极主动地投入学习。

应当强调，用概念形成方式进行概念教学时，教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每一个步骤，如果没有经历概念形成的全过程，学生往往很难全面正确地理解概念，很容易造成对概念的片面、孤立甚至是错误的理解。教师应当引导在认清概念的内涵以后再进行概念应用，引导学生在揭示概念背后的丰富内容的基础上形成新概念，在建立新概念与已有认知结构中有关观念的实质性和非人为的联系上下功夫，而不仅仅是在字面上逐字逐句地再现概念。否则，将给学生的知识保持带来困难，而且也会使学生的思维训练受到危害，因为在没有清晰地把握概念的本质特征时就去应用概念只能是一种盲目的应用，他们的思维也会是杂乱无章的。

3. 概念同化。

随着年龄的增加，学生的认知水平在提高，他们的认知结构中的知识越来越丰富，所掌握的概念也越来越成系统，相应的，概念同化也逐渐成为他们获得概念的主要形式。概念同化属于接受学习。由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生有意义地同化新概念，新概念必须具有逻辑意义，学生的认知结构中必须具备同化新概念的适当知识，另外，学生还必须积极主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构中的有关观念发生相互作用，改造旧知识，使新概念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会贯通。

概念同化方式学习概念有以下几个阶段：

（1）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号。如“一次函数”的定义为“函数y=kx+b，其中k、b?R，k10)。”

（2）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征。上例中可讨论的一次函数特例是：y=kx，y=x，y=－x等。要突出函数表达式中，自变量x的次数为一次这个关键特征。

（3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念。上例中，把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较，认识一次函数与这些相关概念的联系与区别。

（4）用肯定例证与否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化。上例中可举：y=x－1，y=－x+b，y=0，y=1，y=－x，y=x2，ay=x+3(a10)，并要求学生指出相应的k、b各是多少。学生往往拿不定主意，y=0到底是不是一次函数，而y=x－1中的b=1等等。这一阶段可以防止和纠正类似错误的发生。

（5）把新概念纳入到相应的概念体系中去，使有关概念融会贯通，组成一个整体。

概念同化方式获得概念，实际上是用演绎方式获得概念的一种形式。因为它是从抽象定义出发来学习概念的，所以应注意及时应用实例，使出现概念获得具体例证的支持。学习中，必须经过概念分类这一步，因为它可以使学生从外延角度进一步地对概念进行理解，使对概念的认识进一步深化，搞清概念的各个方面，认清概念的各种特例。还要注意，在引入概念的同时，应该要求学生掌握一定的智力动作，例如，如何判断某一事物是否隶属于该概念，如何推出隶属于该概念的事物的相应特征等等。这样可以防止出现知道概念的定义，但不知道在如何用它来解题的情况。还要注意为学生及时提供应用概念进行推理、论证的机会，在应用中强化概念，以防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的情况。另外，一定要将所学概念纳入到已有认知结构中去，形成概念系统，因为这一步可以使学生经历一次新的概括过程，使学生了解到有关概念之间的逻辑关系，从而深化概念的理解，使概念掌握得牢固，并能用来解决新的问题。

必须注意，数学概念是在主客体相互作用的基础上，主体反映客体时所产生的主观产物，因此概念不同于物体，概念教学的过程也不同于物体的传递过程。过去，一讲到知识的传授或接受，就会将它与物体的传递或接受模式联系起来，认为传递或接受一定是既不改变事物的性质也不改变事物的存在形式，只是发生位置移动而已。因而在数学概念的教学中，一讲到概念同化，就会将它与概念的接受联系起来，进一步的又会与“注入式”教学联系起来，学生只能是被动地接受概念。事实上，这种理解是片面的，因为用概念同化模式进行数学概念教学时，教师为了把自己对概念的理解传授给学生，必须将他的主观理解赋予一定的客观形式，即必须借助于一定的物质媒体（如声波、光波、文字等）进行编码，使其作为主观理解的载体，成为所要传递信息的信号，才能进行概念的教学。而从学生的角度来说，他所接受到的并不是现成的概念本身，而是教师用以说明他的理解的媒体或信号，他要从媒体和信号中获得教师所传递的理解或信息，则必须在自己的接受系统中进行一系列的加工处理，进行各种形式、各种水平的变换。这就要完成一系列的译码、编码活动，在自己的头脑中重新建构对概念的理解。因此，概念同化过程同样是学生对概念的主动理解过程，是学生利用自己已有认知结构对概念进行重新建构的过程。这样，只有学生处于十分主动的状态，积极进行一系列复杂的生理、心理水平的变换，即能动的反映活动才能实现对数学概念的理解。

在数学概念学习中，两种方式不能孤立使用，如果仅用概念形成方式学习，显然不符合学校学习的经济性原则；而仅仅用概念同化方式学习，由于数学概念的高度抽象性，学生比较难以把握概念背后的丰富内容，难以理解概念的关键属性，因此应该把两者结合起来使用。教师可以在揭示概念的定义后，引导学生在定义的指导下去观察实际事例，定义的导向可以使学生比较容易地揭示实例中包含的与概念有关的关键属性。同时，通过正例与反例的应用，通过学生自己对实例的比较、分析、概括、分化和类化等，可以使概念的关键属性变得清晰，使实例成为理解概念的一种思维载体，然后再引导学生将新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，形成概念系统。

概念形成与概念同化都是在现有认知结构的基础上进行新概念学习的，因此，在概念教学中，教师把握学生现有认知结构的状况是非常重要的。事实上，学生感知和理解事物的一般方式是由学生的已有认知结构来决定的，新的概念不是被同化到现有认知结构中，就是改造这个现有认知结构以接纳这个新概念。因此，新概念的学习一定要适合学生现有认知结构的水平，概念教学得以充分展开的根本原动力是学生已有的认知结构与新概念之间的不平衡。根据皮亚杰的认知发展理论，学生在遇到新概念时，总是先用已有认知结构去同化，如果获得成功，就得到暂时的平衡；如果同化不成功，则会调节已有认知结构或重新建立新的认知结构，以顺应新概念，从而达到新的平衡。教师应该依据学生概念学习的这种机制，利用新概念与学生已有认知结构之间的差异来设置出相应的教学情境，以使学生能够意识到这种不平衡，从而引起学生的认知需要，促使学生展开积极主动的学习活动。