信息技术的发展深深地影响了整个世界，也深刻地改变了数学世界.信息技术使当今数学变得更加现实，使数学模型思想发展到了前所未有的水平.在信息技术的支持下，数学家可把头脑中的“数学实验”变成现实，对精深的数学概念、过程进行模拟.再难的计算、复杂的方程，只要给出算法就能得到解决.复杂多变的几何关系，利用计算机动态的作图功能可以得到表示.由此可见，信息技术使得数学思想容易表达了，数学方法容易实现了，数学与现实的联系更加紧密了.

数学与信息技术的相互促进与紧密结合，不仅形成了作为高新技术的核心成分和工具库的数学技术，也深刻地改变了数学的教和学的方式.在利用信息技术创设的数学学习环境中，操作、观察、试验、猜想、发现等过程变得具体而清晰，尝试错误的成分减少，数学思维的目的性增强，数学推理的逻辑基础更加稳固，数学思考更具有程序性，这就极大地增加了学生通过自主的、积极的数学思维而成功建构数学概念、解决数学问题的可能性，并使以学生发展为本的教育理念得以实现.

本文以函数教学为例，对信息技术环境下的数学教学做一个初步探讨.

一、 信息技术改变了数学的教学方式与学习方式

信息技术可以为学生创造出图文并茂、丰富多彩、人机交互、即时反馈的学习环境.在这样的环境中，外部给学生的刺激具有多样性和综合性，既看得见又听得着，还可以动手操作，这有利于学生调动多种感官协同作用，对数学知识的获取和保持具有重要意义，也是数学教学方式与学习方式转变的具体体现.

1．传统教学中，由于呈现方式的限制，映射这一概念多数是通过有限集来建立的，即使用到一些无限集的例子，也是离散的整数集或其子集.对于区间这样的数集之间的映射是尽量回避的.但现行教学大纲中，映射的给出，主要是为了导出函数的概念，而在很多情况下，函数是区间到区间的映射.这就是说，学生认识映射的过程与理解函数的概念过程是脱节的.

在教学中，如果我们向学生提出问题：

一条线段上的点组成集合（无限集），以这一线段为直径的半圆上的点组成集合（无限集），问集合与集合哪个集合的元素多？

对于以上问题，估计多数学生会说集合的元素比集合的元素多.如果你否定这一结论，估计学生会跟你“理论”.学生之所以会这样，是因为他们没有比较两个无限集元素多少的方法（当然，中学也无需介绍这样的方法），他们自然只有将比较两个有限集元素多少的方法用到这里来.

设计这样的问题，能给学生以学习的动力，但传统的教学手段使得解释变得困难.要帮助学生理解这一问题，我们可以利用信息技术创设如下的学生活动情境：让学生利用图形计算器或计算机画出图1，图中.拖动点，观察半圆上的点P与的对应关系.

               图1                        图2

通过这一活动，学生不仅可以认识到，这里的对应法则是线段上的点所组成的（无限）集合到半圆上的点所组成的（无限）集合的映射，同时，学生能默认线段上的点与半圆上的点一样多.这也回答了刚才的问题：不能用判定两个有限集的元素多少的方法来判定两个无限集之间的元素多少，并且为学生今后的学习激发了热情，埋下了“种子”.

当然，在图2中移动点，通过观察，可以发现这里的对应法则，是点的横坐标的集合（区间［0,3］）到点的纵坐标的集合（区间［0,2］）的一一映射.这个例子，说明“无限集可以跟它的一个真子集建立一一映射”，而对于有限集这是不可能的，这正是无限集与有限集最根本的区别.

2． 在数学教学中，不少教师习惯于用自己对数学的理解去取代学生的理解，忽略了学生的认知特点，往往说出“这还不知道”，“显而易见”，“你怎么这么笨”等等不利于学生学习的言语，这不仅极大地挫伤了学生的积极性，而且由于认知障碍未解决，最终导致加大了学生的学习困难. 出现这些情况的原因，不外乎是教师没有深入了解所教学生的认知结构，过高地估计了学生的学习水平，或者是由于所教内容过于抽象，难于用言语、纸笔给出形象的表示而敷洐了事. 

在初中学习函数这一概念时，曾给出以下定义：“设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数．”对这一定义，初学的学生对“变化”、“唯一”和“对应”都不是容易理解的.

如果我们给学生安排以下学习情境，则问题将变得亲切和自然：

用图形计算器或计算机画出的图象，

在的图象上任取一点，测出点的坐

标，然后拖动点的位置，观察点的

横坐标与纵坐标的关系. 图3

通过这一活动，使学生认识到函数的本质中蕴含着运动与变化，并且这种运动与变化通常是有规律的. 在图3中，随着点位置的改变，点的横坐标与纵坐标都在变化，但无论点在哪个位置，点的横坐标的平方总等于纵坐标（即自变量的平方等于函数值）.

3．利用信息技术能更有效地进行“观察—探究—发现—猜想—验证—证明—拓广”的教学.实际上，在信息技术支持下的教学设计中，探究和猜想可以成为数学学习的核心内容，学生可以验证自己的猜想，自己发现新命题，并在这个过程中获得逻辑证明的思路，从而丰富自己的数学经验，提高直觉能力和想象力.

研究互为反函数的函数之间的图象关系时，可以让学生利用图形计算器与计算机强大的图象处理功能，多画一些在同一坐标系中互为反函数的两个函数的图象.如对教科书［1］中该节例1的四对互为反函数的函数：

①(R)， (R)；

②(R)， (R)；

③()， ；

④(R，且)，(R，且)．

分四次在同一坐标系中画出它们的图象，同时画出的图象，得到下面图象：

              图4                 图5

学生通过观察是不难得出如下的猜想：

函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称．

如果我们将图4中的函数(R)的图象作关于直线对称的图象，我们会发现，它完全覆盖了函数(R)的图象，这个过程学生完成的是对自己猜想的验证.

如果我们在同一坐标系中同时作出函数与的图象，并在函数的图象上任取一点，再作出点关于直线的对称点，当点在的图象上运动时，我们不难发现，始终在

的图象上运动(如图8).

这个过程，不仅让学生进一步验证了自己的猜

想，还为证明这一猜想找到了一个途径:将证

与的图象关于直线对称的问题，转化 图8

为证的图象上任一点关于直线的对称点在的图象上的问题（当然，这里还有一个逆的过程），并且这个证明可以拓广到一般的互为反函数的两个函数的情形.当然，教学大纲是不要求加以证明的.但这也说明，在信息技术环境下，原本认为难的、要求高的内容，可以变得容易和能够接受.

3．信息技术为数学教学设计提供了丰富的背景资源，使得教学过程变得亲切和自然，为学生通过自主的、积极的数学思维而成功建构数学概念、解决数学问题提供了强有力的支持.

在学习函数单调性的概念时，学生最大的困难，就是难以弄清函数图象的升降这种定性的表述，与函数值的大小比较这种定量的刻划之间的联系.如果我们按照以下的教学设计进行教学，可以较好地解决这一问题.

(1)让学生用图形计算器或计算机作出函数、 的图象.

            图20             图21

(2)观察图1与图2的特征（可启发学生观察图象的升降情况）,在学生得出两个函数的图象都具有特征：“在某些区间上升，某些区间下降”后，给出单调函数的“直观性定义”：在区间 上，若函数的图象（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间 上是增函数，区间 称为函数的增区间；在区间 上，若函数的图象（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间 上是减函数，区间 称为函数的减区间.

(3)与学生一起完成教科书[1]的例1，并让学生独立完成教科书[1]上的练习第1题.

(4)结合图20与图21，让学生寻找函数 与函数 的单调区间.学生应该能得出函数 的单调区间，但要得到函数 的单调区间是困难的.由此指出研究函数的单调性，仅凭“直观性定义”是不够的.

以上的过程，学生对函数的单调性有了初步认识，又看到了进一步研究的必要性.

(5)让学生在函数 的图象（图20）上任找一点 ，并测出其坐标.

(6)利用图形计算器或计算机的“追踪”功能，让学生观察点 在函数的图象上“按横坐标（即自变量） 增大”的方式移动时，点 的纵坐标（即函数值） 的变化，并获得变化规律：在区间 上，随着自变量 增大，函数值 也增大；在区间 上，随着自变量 增大，函数值 减少.

(7)由学生总结规律后，导出单调函数的“描述性定义”：在区间 上，若随着自变量 增大，函数值 也增大，则称函数在区间 上是增函数；在区间 上，若随着自变量 增大，函数值 减少，则称函数在区间 上是减函数.

在以上的过程中，学生自己获得“自变量 增大，则函数值 也增大（减少）”这一数量变化规律后，完成了单调函数的概念用图形语言表述的“直观性定义”到用数字语言表述的“描述性定义”的过渡，但离单调函数的定义还有距离，主要是连续的一批数量的变化关系怎样转化为任意两量的大小定性关系.

            图22             图23

(8)让学生在区间 上，任选一个自变量的值作起点，等间隔地取一批自变量的值，然后用图形计算器或计算机算出其对应的函数值，得到一些表格，如图22－图25. 图22 图23

              图24               图25

(9)让学生结合单调函数的“描述性定义”，观察以上表格，然后自行表述自己发现的规律.期望学生或引导学生得出结论：四个表格的任一个都说明，任选两个自变量的值，自变量大的函数值亦大.

但是，上面的结论是通过有限个表格得到的，学生对“在区间 上任取两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ”的认识还是不完整的.

（10）让学生用图形计算器或计算机作出函数 的图象，并在图象上任取两点 、 ，分别测量出 、 的横坐标与纵坐标 ， 和 ， ，并计算出 .

让学生固定 、 两点中的一点并拖动另一点，拖动时保持 ，可以发现：不论在怎样的位置，总有 （即 ）.

图26

（11）在经历了上述活动后，学生获得了函数是增函数的“多元联系表示”：

在区间上是增函数

在区间 上 的图象是上升的

在区间 自变量大函数值亦大

在区间 上，当 时， .

这个时候给出增函数的定义是一种“水到渠成”的自然事情了：

如果对于属于定义域 内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说 在这个区间上是增函数.

(12)让学生自行研究减函数的定义:

如果对于属于定义域 内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说 在这个区间上是减函数.

(13)学生通过单调函数的概念的学习，不仅全方位地认识了单调函数的内涵，并且掌握了利用信息技术研究函数的单调性的常用方法.

给定问题：设R，函数在区间上单调，求的取值范围.

具体实施这个问题的解决时，接受过信息技术熏陶的学生，首先想到的不是由单调性的定义去演算，因为这里有很多的指向不明，如函数在区间上单调，是递增还是递减？还是在区间上函数的增减性会随着参数的不同而有所改变？等等.

图2－18

①对这个问题，学生利用图形计算器或计算机可作出含参量的函数的图象，然后让参量变化，观察函数的图象的变化，主要是在区间上的单调性.不难发现，若函数在区间上单调，只能是单调递增.

②进一步观察参数变化时函数的图象的变化，可以对的范围作出猜想：.

③用增函数的定义不难证明：当函数在区间上单调时，的取值范围是.

（14）以上的方法，学生不难将其迁移到以下的问题解决中：

（2002年全国高中数学联赛试题）设二次函数(R,)满足以下条件：

① 当R时，，且；

② 当时，；

③ 在R上的最小值为0.

求最大的实数（），使得存在R，只要，就有恒成立.

结束语：学生是数学学习的主体，是数学意义的主动建构者；教师是教学情景的设计者、教学活动的组织者、学生数学活动的指导者和数学思维的促进者；教材等学习资源不仅是教师教学的内容，而且也是学生建构数学意义的对象；以信息技术为代表的教学媒体是师生用来创设教学情景、组织学习材料，帮助数学思维、进行合作交流的认知工具.因此，在使用信息技术创设数学教学情景时，要充分注意贯彻“必要性”、“平衡性”、“广泛性”、“实践性”、“实用性”等原则[2].特别值得注意的是，要把握好以纸笔运算、推理、作图等为主要手段的数学学习与在信息技术支持下的数学学习之间的平衡，既使数学中的基础知识和基本技能得到落实（这里必须有学生亲自动手进行运算、推理、作图等的实践），同时，又要充分发挥信息技术的优势，为学生开拓观察、思考、归纳、猜想的空间，使学生有更多的时间和机会从事高水平数学思维、理解数学本质的活动.

（此文完成于2002年10月）

参考资料：

[1]《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）?数学》第一册（上），人民教育出版社，2002年4月.

[2]《中学数学课程教材与信息技术整合的思考》，“中学数学课程教材与信息技术整合的研究”课题组（章建跃执笔）.

l 课题组主要成员：章建跃、陶维林、郭慧清、白涛、徐勇、桂思铭、康杰、张劲松、李海东.