教材中公理3及其推论的内容关系到确定平面的条件，它们是四个等价命题。在公理中，应着重理解“有且只有一个”的含义，这里“有”是说存在一个平面，“只有一个”是说只有惟一一个平面。因此，公理3强调的是存在和惟一两方面，所以“有且只有一个”必须完整地使用，千万不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，因为前者不能表达存在性。

　　在公理3中，要特别注意“不在同一直线上”和“三点”在公理中的地位，因为过两点或同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面。因此，“不在同一直线上的三点”作为公理3的条件是十分重要的。

　　证三线共点问题常常用到公理3及三个推论来确定平面，再用公理2证得在交线上；有时也用公理1证得其它直线都过这一点。

　　关于证点、直线共面的常用方法：

　　(1)利用公理3及其推论；

　　(2)先由给定的点和直线中的某些元素确定一个平面，再证其它元素在同一个平面内；

　　(3)先说明一些元素在一个平面内，其余元素在另一个平面内，之后证明这两个平面重合。

　　公理3及其推论的作用：①它是在空间中确定平面的依据；②它是证明两平面重合的依据；③它为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体方法。

　　例1：空间中有不同的5个点。

　　(1)若有某4点共面，则这5点最多可确定多少个平面?

　　(2)若任意4点都在同一平面内，则这5点共能确定多少个平面?并证明你的结论。

　　解：(1)当共面的某4点不共线，另一点不在该平面内时，这5点确定的平面最多。最多可确定7个平面。

　　(2)若任意4点都在同一平面内时，这5点必共面，证明如下：

　　若A、B、C、D4点在α内，又因为A、B、C、P在同一平面内，可分如下情况证明：

　　1. 若A、B、C三点不共线，则α为A、B、C确定的平面，所以P在α内，五点共面；

　　2. 若A、B、C三点在直线l上，则：①当D或P也在直线l上时，5点共面；②若D、P都不在直线l上，则直线DP与直线AB必在点A、B、C、P所在的平面内，所以点C也在这一平面内，从而5点共面。

　　例2：已知：延长△ABC三边，AB∩α=D，CB∩α=E，AC∩α=F，求证：D、E、F三点共线。

　　证明：设△ABC所在的平面为β

　　　　　∵D∈α，且D∈，

　　　　　∴D是α、β的公共点。

　　　　　同理，E、F也是α、β的公共点。

　　　　　∴点D、E、F都是在α、β的的交线上。即这三点共线。

　　例3：已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C，求证：直线a、b、c、l四线共面。

　　解：∵l∩b=B，

　　　　∴b、l确定平面α。

　　　又∵a∥b，a、b确定平面β，

　　　　∴在平面α内有b α，l α，A∈l。

　　　　∴A∈α。

　　　又在平面β内有b β，a β，A∈a，

　　　　∴A∈β。

　　　　∴平面α、β内都有直线b和点A，且点A在直线b外。

　　　　∴α、β重合，即a α。

　　　　同理，c α。

　　　　∴直线a、b、c、l四线共面。

　　评析：证明点线共面的方法有两种：(1)由公理3或其推论确定一个平面；(2)先确定一个平面，再把其它“元素”归为这个平面。

［摘自：考试报·高二数学版/2004/05/11］

（人教网高中数学栏目摘选并修改）