第二章 研究结果

一．学生对复数的理解呈现多角度、分水平的

1．代数式子的意义上理解的复数

（1）现状和特点

通过对访谈问题1的记录分析，得到各成绩组被激活的解题图式数据表和使用解题方法次数表：

表2-1 各成绩组被激活的解题图式

表2-2 各成绩组使用解题方法的次数

分析数据表2-1和表2-2，发现高成绩组中高一、高二、高三各有93%（87%）、87%（80%）、100%（100%）的学生能够激起复数表示的代数形式和模的代数表示式；低成绩组中高一、高二、高三各有47%（40%）、67%（40%）、93%（80%）的学生也能够激起复数表示的代数形式和模的代数表示式。在访谈问题1中（2）的解决方法上，高成绩组中高一、高二、高三各有87%、67%、87%的学生用了代数形式的方法，而且用了多种方法的学生中，大多数首先选择的就是代数形式的方法；低成绩组中高一、高二、高三各有33%、20%、47%的学生用了代数形式的方法，虽然低成绩组各年级中不可辨别方法的人数较多，但是他们不少人都能够写出复数表示的代数形式和模的代数表达式，例如：高三低成绩组的Z学生的解题过程这样写道：“设z=a+bi，（a，b∈R），|（a+1）+bi|=1，=1，a²+2a+b²=1，a<1，|z-1|=|a+bi-1|，>0,∴|z-1|>0”。显然，这个学生没有形成可以揭示问题已知和目标之间联系的有意义的、整合的心理表征，在问题信息和问题目标之间无明确方向、无计划地随机应用，但是他能够设出复数表示的代数形式，写出模的代数表示式。高一低成绩组的Y学生这样写出模的含义：复数z=a+bi，（a，b∈R），则模为。虽然这位学生写错模的代数表示，当我要求他解释复数的实部和虚部是什么时，他认为a 是实部，bi是虚部。复数的模在其认知结构中是通过运算的形式“”显示的。这表明不管是高成绩组还是低成绩组，他们对复数形式的理解的最初阶段是复数的代数形式a+bi，对模的理解也是按照符号式子在进行。

当然，从表2-1中发现，低成绩组学生激活绝对值的人数要远远多于高成绩组学生，在解决问题过程中，高一低成绩组中有7人将模当作绝对值来解题，高二低成绩组中有9人将模当作绝对值来解题，高三低成绩组中有1人将模当作绝对值来解题。分析以上17位学生的解题过程，他们写成：“因为|Z+1|=1，所以Z+1=1…”，或“因为|Z+1|=1，所以z²+2z+1=1，…”或“若z>0，则|Z+1|= Z+1=1，若z<0，则|Z+1|=1-z =1，…”,或“当z+1≥0时，z+1=1，当z+1≤0时，-（z+1）=1…”，或“设z=a+bi，a，b∈R，则a+bi+1=1…”等等。在对这17位学生的追踪访谈中，当被问及“复数的模与实数的绝对值有何关系时？”学生C回答：“它们应该有关系，它们的值都是正数，…”，学生P回答：“模与绝对值除了符号写法上相同以外，其它好象没有什么关系，…”，学生L回答：“因为模想不起来了，所以我就用绝对值做了，…”，学生W回答：“绝对值好象是实数的大小，模好象是复数的大小，…”，这些现象表明低成绩组中一些学生一直处于复数认知的低级阶段，从绝对值到模是他们理解复数的难点，是对复数认知的一大障碍，特别是高一的学生，他们在建构复数模的概念时，识记的成分偏多，理解的成分偏少，他们没有弄清复数的模和实数的绝对值之间的关系，没有真正理解模的概念。绝对值的数学符号与复数模的数学符号是相同的，都是|…|，但是绝对值是模的特殊情况，两者是一般和特殊的关系，其性质有相同点，更有不同点，低成绩组中一些学生在学习复数模的概念时，单纯背定义的人很多。

（2）原因及分析

①学生认知复数从代数式子开始

虽然复数的代数形式较几何形式抽象化、形式化，但是不管高成绩组学生还是低成绩组学生都更加愿意以代数形式接受它。一方面，我们教材中引进复数及其某些概念也是先介绍代数形式，如高一教材中对模是如下定义的：“复数z=a+bi在复平面上对应的点到原点的距离称作模，记为|z|，容易知道|z|=”，在应用时高一教材中例题多强调|z|=的应用，而在高三教材中例题才强调几何意义的应用，老师在教学中往往遵循教材的安排，在高一讲授复数模的概念时往往强调它的代数表示，引导学生从运算性上进行理解，学生通过大量练习而加深了对代数表示的印象。克鲁捷茨基（Kruteskii，V.1984））的研究发现：先前建立的方法对能力平常的学生有束缚作用，思维会习惯地回到已建立的模式上^[6]。学生认识复数最初从代数形式开始，运用代数形式理解概念、进行运算是他们习惯性的方法。访谈中，一位学生这样说：“复数问题只要设z=a+bi，好象都好做，”这种思维定势使得低成绩组的学生运用其它方法的人数明显比高成绩组的人数要少。另一方面，学生将复数看成是实数b与虚数i的乘积再与实数a求和的运算，更乐于从多项式的角度接受它。认知科学理论认为：学生的准备知识影响了他们学什么和如何进行学习。心理学家奥苏伯尔（Ausubel）也认为：影响学习的最重要的一个因素就是学习的人已经知道的是什么^[9]。在学习复数之前，学生接触的代数内容有：整式、分式、方程、不等式，这些内容都离不开代数式的运算。按照建构主义观点，学生将自己对代数的认知过程进行有序组织，压缩为“数式”，学生将复数的形式定义看成一个多项式的运算，将模看作一项运算规则，同化到自己的认知结构中并不感到困难。按照Sfard的数学概念二重性理论，随着运算过程的重复实施，一些学生对表示式不断的进行反省和抽象，将实数、虚数组合起来，形成新的数学对象—复数，渐渐地将其当作一个整体，这个新的数学对象复数超越了实数的性质，发挥出新的功能，从而获得结构性的理解，形成了高一级的概念。这时，其认知发展为层次排列：

图2-3 认知结构层次

有了层次分明、组织有序的认知结构，学生容易明确复数z在条件整体中的恰当地位和作用，能够通过正确的心理表征找到条件和结论的关系。当然，由于能力发展的不平衡性和差异性，一些学生只是将复数的代数形式和模当作运算公式而已，而且这个过程会持续相当长的时间，这在低成绩组学生中表现特别明显。

②从绝对值到模是学习困难学生认知复数的难点

缺少理解的记忆阻碍了低成绩组学生对模的认知。从访谈中了解到，低成绩组中一些学生学习模只是将模当作一个代数运算公式而加以记忆，在应用中纯粹模仿|z|=。Piaget曾从哲学的角度指出：“每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是从一个较初级的结构过渡到一个不那么初级的（或较复杂的）结构”，而记忆加模仿则是没有建构的活动^[3]。在高二低成绩组学生解决问题过程中，当作绝对值去解的人数比高一低成绩组学生的人数还多，正是由于没有理解的记忆，使得时间一长，容易忘掉具有较多内容的模，在其认知结构中只留下包含较少内容的绝对值的符号|a|；另外，处在高二学习阶段的学生，由于其它知识对复数没有特殊的需要，而使得原先建立的有关模的表象更加模糊，容易将复数的模和实数的绝对值混为一谈。

与高成绩组学生相比，低成绩组学生认知结构水平的差异影响了他们从绝对值向模的概念建构。低成绩组一些学生对数的认知并没有随着复数的形式定义a+bi（a，b∈R）而从一元数发展到二元数，他们对复数的认识还基本停留在“具体运算阶段” ^[5]的思维。这一认知水平使得学生没能发现模和绝对值|a|=之间的一般和特殊的联系，对低成绩组17位将模当绝对值思考的学生进行追踪访谈，发现有11人认为模和绝对值没有实质关系。有意义言语学习理论强调：在新知识的学习中，认知结构中原有的适当的观念对新知识起决定作用^[8]。那么缺少绝对值的联系，学生在建构复数模的概念时则找不到固着点，这样掌握的模的概念也是不牢固的，随着时间的推移，看到|…|脑海中只留下“首轮印象”—“绝对值”。另外，模的学习相对于绝对值的学习是一个上位学习，它是由特殊到一般，具体到抽象的认知过程，由于个体能力的差异性，一些抽象能力弱的学生，从Piaget的儿童思维水平发展理论^[5]看，虽然他们到了形式运算时期，但是由于他们的抽象思维能力的发展往往滞后，所以他们对模的理解和应用就会感到比较困难。

低成绩组学生从实数的绝对值的学习到复数的模的认知缺少表象与符号的有机联系。学生在理解概念时，概念通常并非以逐字逐句的方式在人脑中存储和记忆的，而是采用表象作为媒介的，有意义的记忆编码就是表象，要应用时，最先从长期记忆里跳出来的以及思考加工时的参照物是表象，复数模的概念表象上往往是与复平面上的点与原点之间的距离相联系，而在符号上是与实部、虚部的平方和的算术根相联系，学生对模的理解的困难原因往往是将这两者之间割裂看来，缺乏对这两者必然关系的认识，或缺乏帮助理解的表象，在访谈中，当问到“看到模，你会想起什么？”，高成绩组学生的回答往往是：想到一个圆，或想到勾股定理，或两点间的距离公式…；低成绩组学生的回答往往是：想不起什么，抑或能记住，但又不知与几何有啥联系，所以在问题解决中，当需要将模的代数形式和几何形式有机地结合时，他们在心理上不能调整和识别自己已有的图式，从而不能有效地回忆和应用模的概念，只能回到绝对值，所以在教学中，教师要多用直观的方法帮助他们理解^[1] ，促成他们的认知从绝对值向模过渡。

教材对复数的编排方式影响了低成绩组学生从绝对值到模的认知。上海市高一数学教材中对模是如下定义的：复数z=a+bi在复平面上对应的点到原点的距离称作模，记为|z|，容易知道|z|=，而且在应用时教材中例题多强调|z|=的应用，在高三教材中例题多强调几何意义的应用，老师在教学中往往遵循教材的安排，在高一讲授复数模的概念时往往先下定义，然后就教学生利用定义进行运算，其实，学生大脑中还没有真正建立起复数的模就是复数在复平面上对应的点到原点的距离，至少还没有强化，他们没能从绝对值的表象是表示一维数轴上的点到原点的距离，顺应到复数的模的表象是表示二维复平面上的点到原点的距离。Vinner就曾提出：获得概念就是形成概念表象，用心学习定义不保证理解^[27]。教材的编排方式使得学生弱化了模的定义与表象的联系，失去了表象强有力支撑的定义学习也就造成学生难以理解复数模的实质，最后不少人只能将模当绝对值。

2．几何意义上的复数的理解

（1）现状和特点

优秀学生对复数几何意义的理解情况明显好于困难学生，但也呈现一定的水平差异。从表2-1和表2-2中发现，高一、高二、高三的高成绩组各有47%、73%、87%的学生能够激起复数的几何意义，在问题解决的方法上，高一、高二、高三的高成绩组各有47%、73%、87%的学生用了几何意义的方法。高一组中运用几何方法的人数明显比高二和高三组要少，高二和高三组学生运用几何方法的人数上差别不是很大，那么他们对复数几何形式和模的几何意义理解层次上是否有差距呢？我又设计了一道几何意义比较隐含的问题2：“已知复数z满足|z+2+3i|²+|z-2-3i|²=40，求|z|。”对高二和高三高成绩组的学生进行了追踪访谈，结果高三组有8人用几何方法算出正确答案，有3人画了下面的图，

图2-4 学生解题草稿纸

但是没有解下去，问他们遇到什么困难，学生G说：“|z+2+3i|和|z-2-3i|分别表示z到点（-2，-3）和点（2，3）的距离，但是整个式子并不表示什么几何图形，哦，这是一个三角形，但也没用吗？”这表明他看出局部的几何含义，却不能从整体上把握。另外，高三组学生表现出能够从多种角度进行几何意义的分析，有的从三角形的余弦定理考虑：设点Z，点A（-2，-3），点B（2，3），∠AOZ=θ，在三角形AOZ和三角形BOZ中，由余弦定理得|AO|²+|Z|²-2|AO||Z|cosθ=|AZ|²，|BO|²+|Z|²+2|BO||Z|cosθ=|BZ|²，将两式相加即得|z|=；有的利用向量，从平行四边形的性质考虑：由|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2|z₁|²+2|z₂|²有2|z|²+2|2+3i|²=40，即|z|=；还有的利用解析几何中圆锥曲线方程去判断其图形，当然这样做并没有必要，因为设出复数z对应的点（x，y）代入条件就是|z|的代数形式表示，但从一个侧面反映出他们努力联系已学过|z|的知识，从各种可能的情况进行几何意义的理解。而高二组中只有2个人用了几何意义的方法，并且都是运用上述方法中的第一种方法。还有在问题1中（2）的几种方法应用顺序上，高一、高二、高三高成绩组中各有3、4、8人首先应用几何方法，然后再去寻求其它方法。这些表明学生对复数几何意义的认知是分水平的，且随着年龄的增长，阅历的增加，其认识水平也会逐步提高。

总体来讲，差生对复数几何意义的理解是困难的。高一低成绩组学生激起复数几何表示形式的人很少，我又通过问题“复数与几何有关系吗？”继续访谈，15人中有2人说“不知道”，9人认为没有关系（其中有3人在回答模的概念或问题解决过程中激起了复数几何表示的图式），4人认为有关系。对初学者来说，他们很难把数和形结合起来，常常将代数形式和几何表示孤立对待。高二和高三低成绩组中各有1和6人激起复数的几何形式图式，只有3人能够正确应用几何意义的方法去解决问题。在对高三低成绩学生的访谈资料分析时，发现一些学生能够回答出：复数的模就是表示复数在复平面内对应的点到原点的距离，但是在问题解决过程中却想不起应用复数的几何意义，或者能够想起图形却不能正确地应用复数的几何意义去解决问题，在访谈问题1中（2）的解决过程中，他们往往只画一个圆就不知如何思考了，如高三低成绩组X学生的解题过程如下：

图2-5 学生解题草稿纸

又如高三低成绩组组学生W，他阅读完题目，首先想到设z=a+bi，a，b∈R，|z+1|= ……，当访谈中问及他为什么会这样做，他说：“因为z是复数”，这表明他对复数模的表象主要为代数形式，当他将|z-1|化为时，又自言自语道：“因为a的值不知道，所以不好做了吗？我换一种方法试试看，模好象是表示距离，用图象法……”，但是他只画出了实轴和虚轴，就说“好象我忘记了图象怎么表示……”,但被问及为什么会去想图象法，他说：“因为|z+1|=1表示一个距离，而且求取值范围从图象法比较方便……”，另外，他还提出向量也可以试试看，但是又不知道如何将其与向量联系起来，这表明这个学生曾经有过用模的几何意义去解决问题的体验，但由于当时所建构的心理模式不稳定而导致遗忘。访谈情况说明，优秀学生和困难学生对复数形式的几何表示和模的几何表示的基础知识的差异相对较小，但综合运用几何意义的知识差异很大，困难生往往也能够描述复数模的几何意义，但是几个概念综合，他们就不行，综合能力的差异表现出他们认知结构存在差异，也表现出他们对数学概念、数学思想、观点和方法的理解上存在水平差异。

（2）影响学生对复数几何意义理解的因素及原因分析

①学生的信念和思维习惯促进或者阻碍了对复数几何意义的理解

高成绩组中一些学生首先寻找几何方法，其中一个原因是他们力求思维的简洁，当我问他们为什么会一开始就去想几何方法，他们的回答往往是“几何方法比较简单，不要进行复杂的计算”、“从图形上看比较清楚，不大会出错”、“能够利用几何意义，我总是先利用几何意义去分析，实在不行，才用代数形式去设”，访谈中还发现，优秀生解题时总是尽可能压缩自己的推理过程，这种思维倾向使得他们更容易将复数的几何形式和模的几何意义作为理解复数的表象，并且尽可能地在各种场合尝试使用，在访谈问题2的解决过程中，高成绩组中有多人画了图（虽然没有能够用几何方法解出），便证实了这一点。相反地，困难生虽然有时也知道自己的方法复杂，但他们“不愿”去反思，而是坚持自己已经运用的方法，似乎有点“不厌其烦”，这种思维习惯，使得他们缺少进行方法的比较，从而在其认知结构中不能将几何形式的表象和代数形式的表象建立有效的联系，虽然有时也会模仿例题和老师的解题方法在坐标系中描出复数对应的点和图形，但他们纯粹是为了几何表示而画图，对几何图形作为表象的直观性体会不深，所以他们能够应用几何方法的人数不多。

②数学内容和教学要求对学生理解复数几何意义的影响

高成绩组中学生在激起复数的几何表示的图式和应用几何意义方法方面随着年级的增长而越来越熟练，低成绩组学生虽然总体情况不是太好，但在访谈中发现，随着年级的增长也会有所改观。这些与学生所学数学知识的内容和老师的教学要求有关。在复数学习之后，高二学生学过函数、三角比、三角函数、向量，高三学生还学过直线和圆锥曲线，这些知识都有数学结合的思想，使得学生越来越习惯于将数和形同时作为思考一个数学对象的两个方面，另外这些知识的学习也使得学生的抽象思维能力得到进一步的提高，能够更全面、更深刻地理解一些抽象性较强的数学概念，在访谈问题1中（2）和2 的解决过程中都有一些高三学生将复数z设为点（x，y），将条件化成曲线的方程，从解析几何的几何意义来分析，他们更懂得运用所学过的知识从多角度验证自己的理解。向量的学习为复数联系几何又起了很好的铺垫作用，正如奥苏伯尔（Ausubel）所讲的起了“先行组织者”的作用[8]，为复数几何意义的学习提供了认知框架，改进了复数与几何的联系在原有认知结构中的稳固性和可利用性，也有助于复数几何意义的保持和迁移，例如高一和高二组一些学生将|z+1|=1看成是复平面的点z到（-1，0）的距离，更多是依靠两点间距离公式来理解的，而高三组学生除了借助于两点间距离公式，还可以利用两点决定的向量的模来增进理解。还有对复数教学要求的提高促进了学生对复数中有关概念的几何意义的理解，与25位高中数学教师访谈，83%的老师认为：高一只须引导学生将复数与几何进行挂钩，不应对复数几何意义有过高要求，高三应该强调几何意义的应用。可以说，内容的丰富和教学要求的提高是学生深刻认识复数几何意义的一个原因。

③从认知理论来分析学生对复数几何意义学习的水平差异

高成绩组学生对复数几何意义的应用情况总体良好，而低成绩组学生（特别是高一、二低成绩组）对复数几何意义的应用普遍不熟练，这说明他们对复数有关概念（如模）的理解呈现水平差异。以下是高三高成绩组学生W和低成绩组学生B对问题1中（2）的解决过程：

图2-6 学生解题草稿纸

Vinner曾经用表象的形成和发展过程来描述概念的形成过程，他认为数学概念的学习过程分为4个阶段：（1）使用单个的表象；（2）在同一水平上使用多个表象；（3）在同一水平的表象之间建立并产生联系；（4）综合表象，并且在多个表象之间可以转换^[16]。用这一理论进行分析：学生B能够设出复数z的代数形式，拥有代数符号的表象，虽然最后写对|z-1|的函数解析式，但是由于对函数概念的理解不深刻或者函数思想的观点不牢固，而将函数更多地看成一个算式（这种情况与曾国光认为的学生对函数概念的理解第一阶段是“作为算式的函数”相一致），最后导致问题不能正确解决。随后，他画出的一个圆也不能准确地反映复数z的几何含义，表明他还不能熟练地使用图形作为复数模的表象，所以他拥有的表象是单一的，或者说有两个表象，但是表象之间没有联系，他对复数模的认识基本属于第一阶段，最多也只到第二阶段。学生W对复数模的认识已经达到第三阶段或第四阶段，他既能够使用模的代数计算公式，也能够使用模的几何图形作为表象，且能够在不同的表象间进行转换，对模的认识比较深刻，国内学者藤永康认为，学生对概念的理解有四个层次：正确理解，全面理解，深刻理解，灵活理解，该学生对模的认识应该说达到了灵活理解的程度。

另外，从过程与对象理论分析，低成绩组学生对复数的对象化程度不高也影响了作为几何意义上的复数及其有关概念的理解。用点表示复数z、用距离表示复数的模|z|，必须将复数z或其模|z|作为一个整体，而不少学生仍然只能将复数的代数表示仅仅看成一个运算，一定要区分实部和虚部，作同类项合并。我通过问题2“已知复数z满足|z+2+3i|²+|z-2-3i|²=40，求|z|。”对高三低成绩组15名学生进行追踪访谈，15名学生无一例外的全部设出复数z=a+bi（a，b∈R），类似于合并同类项|（a+2）+（b+3）i|²+|（a-2）+（b-3）i|²=40，然后有10人按照模的代数计算公式求出正确答案，还有5人模的公式应用错误或者计算错误而没有得到正确答案，他们在出声思考过程中，没有人将2+3i和-2-3i作为一个复数整体，都是看作运算过程，从而影响了将|z+2+3i|和|z-2-3i|分别看作点z到点（-2，-3）和点（2，3）的距离，在问题解决过程中，没有人画图形，也没有人显示出想应用几何意义的意识。Sfard指出，只有当学生越来越熟悉地进行这些运算，最后达到不再需要实际操作，将a+bi压缩为符号z、将压缩为符号|z|，才能从整体上理解复数及其模的概念。我曾经对上述15名学生进行追踪调查，前后相隔3天，要求他们分别作出|z|和|z+1|所表示的图形，结果有6人先后画出的都是以原点为圆心的圆。这说明，没有对复数和模高度对象化的学生很容易混淆形状相似的不同复数整体的几何含义。

3.整体意义上理解的复数

（1） 现状和特点

从问题1中（2）的解决方法次数数据表（表2-2）中发现高成绩组高一、高二、高三各有6.7%、6.7%、20%的学生能够使用复数的整体形式z解决问题，他们不必设出z=a+bi（a，b∈R），或者z=r（cosθ+isinθ），而是直接利用复数z的有关性质（如=+，|z|²=z等）进行分析，问及为什么会从这个角度思考，以下是三个学生的回答，学生F说：“用符号z运算蛮简单的，我总是尽量不将z用a+bi（a，b?R）的形式展开”；学生Y说：“保留z作为一个整体，只有z和之分，变量少便于问题的解决”；学生C说：“z和相乘，相加有一些性质，利用这些性质能够使得复杂问题明朗化”。这表明这些学生已经具有将复数z作为一个整体运算对象的意识，能够摆脱复数z作为一个算式或者多项式a+bi的束缚，注重寻求算法的合理性，重视如何才能更为迅速、更为容易地去完成计算。低成绩组学生没有人能够应用整体形式解决问题，他们对复数z缺少结构性的理解，比较重视操作过程，离不开具体的展开运算，即使是可以直接求出z的，他们也非要设出z=a+bi（a，b?R），我通过问题“已知x∈R，z∈C，x、z满足x²+zx+3z+4i=0，求z。”继续访谈，低成绩组中高一、高二、高三分别有93%，89%、85%的学生解题过程的第一步就是“设z=a+bi（a，b?R）……”，与之相比较，高成绩中高一、高二、高三分别有92%、95%、96%的学生直接通过移项、合并同类项解出z=。为了加深对复数概念的结构性理解，为了优化解题方法，提高问题解决的效率，教师要适时地指导学生从机械性的练习中寻找机会将对象明确化。

另外，从访谈资料中反映出，应用整体形式的方法的学生都能够应用代数形式和几何意义的方法，特别在几何方法的使用上，也反映出他们整体地、结构性地思考问题。在访谈问题1中（2）的解决过程中，发现高成绩组中高二组和高三组共有4个同学是这样运用几何方法来解题的：如果|z+1|=1表示以原点（0，0）为圆心，1为半径的一个圆，那么|z-1|=|（z+1）-2|则表示圆上一点到（2，0）的距离，由图示

图2-7 学生解题草稿纸

可知，该距离的最大值为3，最小值为1，这些学生将复数z与1的和作为一个实体、一个对象。所以应用复数几何意义解题，加速了对象化进程，促进了学生对复数的结构化理解。

低成绩组学生没有人在访谈问题1中（2）运用整体形式的方法，我通过访谈问题2对他们的调查发现，有几个同学将z看成整体，但是他们的复数概念没有真正的对象化，现摘录他们的解法片段如下，学生S：“设2+3i为q，有|z+q|²+|z-q|²=40， z²+q²+z²+q²=40，……”该学生看似将复数z看成整体，从访谈中了解到，其实，他是将|z+q|2和|z-q|2用完全平方展开，绝对值的性质|a|²=a²对模的性质|z|²=z 引起了负迁移，他没有能够从整体上理解|a|²=a²是|z|²=z 的特殊情况，具体体现，两者是从属关系，是包含和被包含的关系，从集合角度理解，算得上是真子集的关系。对这种学生，教师要引导他们运用类比的方法进行实数域和复数域内有关性质的比较，多强调设复数的代数形式，利用已有的经验作为过渡，而不要片面为追求解法的简洁，强调整体性。学生L：“|z+2+3i|²+|z-2-3i|²=40，（|z|+|2+3i|）²+（|z|-|2+3i|）²=40，（|z|+）²+（|z|-）²=40，|z|²+13+|z|²+13=40，……|z|=”，虽然这位学生的最后答案正确，但是解题过程中，他将|z+2+3i|化为|z|+|2+3i|显然是错误的，访谈中，我问他这一步是怎么推导出来的，他说：“老师上课讲，模有很多性质，如：|z₁z₂|=|z₁||z₂|，|z_n|=|z|ⁿ等等，我想也应该有|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|…”，这位学生由于死记模的运算法则，所以无法进行有意义的操作运算。

（2） 影响学生对复数整体性理解的因素及原因分析

①从认知结构发展理论和数学概念二重性理论看学生复数概念的发展

理解和应用复数模是一个逐步深化的过程，首先，学生将模内化到自己的心理图式中，必须经过一段过程，尤其要经过一定的操作运算，而且当他越来越熟悉地进行这些运算，最后达到不再需要实际操作时，才算将模的概念内化了，在访谈中，不管是高成绩组还是低成绩组学生，从他们问题解决的方法来看，他们中的大多数人都首先运用模的代数形式定义|z|=进行运算，用距离表示模，用几何意义来描述模是对模的概念的压缩，在此阶段，学习者能将一个复杂的概念压缩成容易使用和考虑的形式，并且在不同的表示形式之间进行转换，他们的概括能力逐步提高了，例如，既能运用代数形式又能运用几何意义解题的学生，他们将模的代数形式和几何意义组合过程，并且作对比和概括，从表2-1和表2-2中可以看出，高成绩组的学生中大多数都进入到这个阶段，而低成绩组的学生只有少数人达到这个阶段。随着理解的深入，一些学生能将模看作一个整体对象|z|，而不需要详细用代数形式展开或用几何意义表示，就能对其进行运算，这是对复数模的概念理解的具体化阶段，在这一阶段，学生对概念的理解是整体的和结构性的理解，Sfard指出，从内化到压缩是逐步发生的，但是具体化经常是一个突然的转变^[23]，所以，这一阶段是最难达到的阶段，在访谈问题1中（2）解决的“整体方法”上，高成绩组学生中只有5人用到这一方法，而低成绩组学生没有一个人用到这一方法。

低成绩组中有几位学生表面上是用整体形式的方法，但是他们对复数及其模等概念的发展没有真正达到对象化的程度。复数z和模|z|没有被高一级的过程进行充分的运算，就看不出对象化的必要性，而在高一级的过程中，被操作的如果不是一个实际对象，所规定的运算法则也就失去了意义，倘若老师坚持让学生去进行运算，那么这种运算就成了无对象的运算，变为缺乏意义的符合游戏，学生除了死记硬背外，无法进行有意义的操作运算，从而就出现了|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|的错误。所以，教师在复数教学中要多加关注学生的思维表现，了解和分析他们的认知是处于单结构、多结构、关系和进一步抽象^[25]的哪一种水平，从而采取有效的措施有层次推进他们从前一水平向后一水平发展。

②学生对复数认知水平的差异主要表现为理解的差异

从访谈资料中反映出，低成绩组学生解决问题的方法比较单一，基本上看到题目，就设z=a+bi（a，b∈R），然后进行运算，按照数学教育家R.Skemp（1976）的观念，学生对概念的理解被划分为“工具性理解”和“关系性理解”，工具性理解是指知道法则，但是却不懂得其理由，而关系性理解则是我们所讲的“知道怎么做”，又知道“为什么这样做”，理解不是单一方面，没有单纯的对错之分，而是一个有丰富内涵的多个侧面，多种成分的“谱”，是一个范围，是一个系列^[3]，低成绩组这些学生的解题过程表明他们对复数及其模并不是一点都不理解，他们知道“设z=a+bi,(a,b∈R)；|z|=”，将复数和模看作实施特定运算法则的某个运算过程，只要涉及到复数问题，他们就重复和回忆前面的运算法则，即使象上面这样的问题“已知x∈R，z∈C，x、z满足x²+zx+3z+4i=0，求z”，可以不设z而直接求的，他们也非要设z=a+bi,(a,b∈R)，这说明他们对复数的理解还只是停留在“工具性理解”层面上；从S.Pirie和T.Kieren（1994）的数学理解模型^[3]来看，当学生对复数的外层理解即整体理解建立不起来时，他们就要一次次地折返回去，将相应的内层水平的认识即复数的代数表达式作再建构以满足外层水平的要求，这样来回往返，波浪式地推进，保证了理解发展获得内层水平的支持，从而逐步推动他们大脑中的复数概念向着结构化发展。高成绩组的学生在每一步的学习都尝试建立自己认为可能恰当的意义，并且在以后的学习中接受检验，不断修正，在复数与向量，复数与三角，复数与几何之间不断进行评价和解释，使得他们逐步获得对复数的关系性理解，加快了概念发展的对象化进程，在问题解决中能够从总体上把握条件之间以及条件与目标问题之间的关系，解题方法也明显增多。

③数学的形式化要求促进了学生对复数的概念的结构化理解

从数学本身的发展分析，在数学中一切进步都是引入符号（表意符号）后的反响。数学可由符号加以形式表达，符号本身具有双重意义，即本身意义和操作性意义^[4]，在复数系中|Z|是指复数z=a+bi（a，b?R）的模，但是它也包含了操作运算，数学发展的形式化要求完全撇开符号的本身意义，而根据某些只涉及符号书面形态的转换规则进行符合操纵，从而也能够不断促进思维的机械化，也为深刻地把握概念对象提供了保证，能够约简推理步骤。高成绩组中一些学生能够从复数整体形式，直接运用符号z，或者|z|进行推理，演算，最终获得问题的解决，这与他们平时善于应用形式化方法分析问题，解决问题有关，在研究中，我选择了高二，高三的四名运用整体方法的学生进行了继续访谈，从谈话中反映出，他们都努力使得数学问题形式化，为了观察他们在问题解决中是否也有形式化的倾向，我又出了一道表面上与复数毫无关系的访谈问题，请他们解答，问题：“对n∈N，令S_n为的最小值，其中a₁，a₂…a_n∈R+，其和为17，若存在唯一的n使S_n也为整数，求n。”

这四位学生中有三位是这样解答的：设z₁=1+a₁i,z₂=3+a₂i,…z_n=(2n-1)+a_ni,那么S_n就表示|z₁|+|z₂|+…+|z_n|的最小值，=|z₁|+|z₂|+…+|z_n|≥|z₁+z₂…+z_n|=|[1+3+…+(2n-1)]+(a₁+a₂+…+a_n)i|=|n²+17i|=（其中有一位学生解到这里，没有继续下去），因为S_n为正整数，设S_n=m，n⁴+17²=m²，m²-n⁴=289，(m+n²)(m-n²)=289，所以m-n²=1，m+n²=289，解得n=12。四位学生中还有一位学生根据条件想起了勾股定理，画出了如下的直角三角形,这些直角三角形的两条直角边分别为水平方向和竖直方向,

图2-8 学生解题方法图

A和B之间的折线段的长度是小直角三角形的斜边之和,即为++…+,根据A和B之间的折线段的长度应该大于或等于线段AB的长度,所以,Sn=|AB|===,(以下过程与上面解法一样)。

以上四位学生中有三位学生根据条件中的代数式的含义联系复数模的符号意义,然后利用模的性质进行操作运算；另一位学生根据条件中的代数式的内容联系直角三角形的勾股定理的形式，然后利用几何图形的关系得到Sn的表达式。这些都是形式化方法要求的体现，形式化促使他们对复数系中一些概念理解的对象化，发展了他们的抽象思维能力，增强了他们认知结构中不同知识间的联系，他们能够为某些代数形式问题构作几何模型，或者能够借助于内容和形式之间的关系把一种代数形式问题转化成另一种代数形式问题，从而使得他们在概念理解和问题解决中能够更加容易地从整体上把握。

作品

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