例2 用计算机验证角谷猜想。

日本数学家角谷曾提出一个有趣的猜想：从任何一个自然数n出发，如果是偶数，就除以2，如果是奇数，就乘以3再加1，不断重复这个操作，总能得到1。例如，当N=20的时候，有：

20→10→5→16→8→4→2→1。

现在，请你编一个程序，验证角谷猜想。

REM——验证角谷猜想——

INPUT “N=”；N

PRINT N； “—>”;

40 IF N=1 THEN PRINT 1: END

IF N/2=INT(N/2) THEN N=N/2 ELSE

N=3*N+1

IF N>1 THEN PRINT N;”-->”;:GOTO 40

RUN

N=30

30->15->46->23->70->35->106->53->160->

80->40->20->10->5->16->8->4->2->1

例3：验证“回文数猜想”。

左右对称的自然数称为回文数，例如，121，4224，13731等。有一个非常有趣的数学猜想与回文数有关，这就是“回文数猜想”：从任意一个两位或两位以上的自然数开始，将这个数与它的逆序数（如1992的逆序数是2991）相加，得到一个新数，再用这个新数与它的逆序数相加，不断重复上述操作，经过若干步的逆序相加之后，总可以得到一个回文数。例如，从1992开始，经过7步就得到了回文数。

（1）　　 1992+2991=4983

（2）　　 4983+3894=8877

（3）　　 8877+7788=16665

（4）　　 16665+56661=73326

（5）　　 73326+62337=135663

（6）　　 135663+366531=502194

（7）　　 502194+491205=993399

利用上述方法似乎永远也变不成回文数的最小数目是196。

（1）　　 196+691=887

（2）　　 887+788=1675

（3）　　 1675+5761=7436

（4）　　 7436+8347=13783

（5）　　 13783+38731=52514

…………………………

据报道，有人已经对196进行了50000步的逆序相加，仍然未出现回文数，这个数学猜想到目前为止还没有得到证实。现在请你设计一个程序，由计算机在局部范围内验证“回文数猜想”。并将寻找回文数的每一个步骤都显示在屏幕上。

问题分析

这是一个运用高精度加法的典型例题，在寻找回文数的过程中，要不断地进行两个自然数的累加。当累加的数字超过16位时，计算机便不能精确地显示了。因此也就无法再继续验证下去了。为了克服这一缺点，我们可以采用字符串输入的方式，并同时开辟两个数组，将每个数的每一位数字分别存放在两个不同的数组A（I）和B（I）中，A数组中的数与B数组中的数的顺序刚好相反，运算时对位相加即可。当然还要考虑进位问题，相加之后的结果仍然放回到A数组中。

首先，设两个数之和的长度为L，在判断两数之和颜悦色是否为回文数时，只须从I=1开始，到L/2+1为止，将A（I）单元中的数字与A（L-I+1）单元中的数字逐项进行比较，如果每一项都相等，则回文数已经找到了。

因为计算机只能在局部范围内验证这一猜想，所以我们应当确定一个累加次数，当达到这一次数仍未出现回文数时，我们就认为是找到了一个留待进一步考察的特征例。

程序清单

REM——验证回文数猜想——

20 INPUT“n=”；N $

LET L=LEN(N $):IF L<2THEN GOTO 20

DIM A(1000),B(1000)

GOSUB 200

60 GOSUB 300

IF P=1 THEN PRINT “OK! OK=”;END

LET T=0:Z=Z+1:PRINT”(“;Z”)”;

PRINT “ ”;:GOSUB 400:GOSUB 500

LET T=1:GOSUB 400:GOTO 60

200 REM——分离数字子程序——

FOR I=1 TO L

LET A（I）=VAL（MID $（N $,I,1）

LET B(I)=A(I)

NEXT I

RETURN

300 REM——判断是否为回文数子程序——

FOR I=1 TO INT（L/2）+1

IF A（I）<>A(L-I+1)THEN P=0;GOTO 340

NEXT I:P=1

340 RETURN

400 REM ——打印子程序——

FOR I=L TO 1 STEP –1：PRINT B（I）；：

NEX T 1

IF T=1 THEN PRINT：RETURN

PRINT“+”；

FOR I=1 TO L：PRINT A（I）；：NEXT 1

PRINT“=”；RETURN

500 REM——逆序相加子程序——

LET D=0

FOR I=1 TO L

LET B（I）=B（I）+A（L-I+1）+D

LET D=INT（B（I）/10）

LET B（I）=B（I）-10*D

NEXT I

IF D=1 THEN L=L+1：B（L）=1

FOR I=1TO L：A（I）=B（I）：NEXT I

RETURN

运行结果举例

RUN

n=? 1999

(1)9991+1999=11990

(2)11990+09911=21901

(3)21901+10912=32813

(4)32813+31823=64636

(5)64636+63646=128282

(6)128282+282821=411103

(7)411103+301114=712217

OK! OK!

通过上面的举例，相信读者对用计算机验证数学猜想已经有了一些认识。下面，作为练

习，我们再给出一个数学猜想，请读者自己编制程序来验证该猜想的正确性。

验证卡布列卡猜想

印度数学家卡布列卡在研究数学问题时发现一个有趣的现象：用不完全相同的四个数字组成一个四位数，将组成这个四位数的四个数字重新排序，组成一个最大的数和一个最小的数，并用较大的数减去较小的数，对减得的差再重复上述操作，差如果不够四位数时，用零补位。不断地做下去，最后变成了一个固定不变的数：6174。卡布列卡普做过大量的试验，结果不论从任何满足条件的四位数开始，最后总能变成6174。因此，卡布列卡风趣地把6174叫做卡布列卡常数。

例如，我们从4231开始，首先把4231重新排列成4321和1234，两数相减得3087；再把3087重新排列成8730和0378，两数相减得8382；再把8352重新排列成8532和2358，相减得6174；再把6174重新排列成7641和1467，两数相减仍然得6174。

4231：4231-1234=3087

3087：8730-0378=8352；

8352：8532-2358=6174；

6174：7941-1467=6174。

请你设计一个程序，验证卡布列卡猜想。并把验证猜想的每一步结果打印出来。　　

（选自《中学生数学》期刊 2001年11月（上））