一、　数学哲学研究的黄金时代

从1890年到1940年的这50年被称为是"数学哲学研究的黄金时代"。在这一时期中,数学基础问题取代传统的数学本体论问题和认识论问题成为数学哲学研究的中心问题,一些著名的学者,如弗雷格(G.Frege)、罗素(B.Russell)、布劳维尔(L.E.J.Brouwer)和希尔伯特(D.Hilbert)等,更围绕基础问题进行了系统和深入的研究,从而发展起了逻辑主义、直觉主义和形式主义等具有广泛和深远影响的数学哲学理论。(Benacerraf&Putnam,1983;Fraenkel&Bar-Hill,1958;夏基松、郑毓信,1986) 　　对数学基础研究与早期的数学哲学研究进行比较,不难发现,除中心问题的转移以外,数学基础研究并有着以下的重要特点,即逻辑主义等学派都提出了十分明确的研究规划,从而就在相当程度上将哲学的分析与具体的技术性研究很好地结合了起来。

例如,尽管莱布尼兹即已明确提出了数学真理就是逻辑真理的思想,但是,又只有在弗雷格和罗素那里,这一思想才得到了更为明确的阐述(即所谓的"逻辑主义宗旨")。更为重要的是,弗雷格和罗素并将这一抽象的论题发展成了具体的研究规划,著名的《数学原理》就是后者的直接结果--它"包括一个从符号逻辑的前提出发,经有限和无限的算术,而达到几何的演绎的序列"。(夏基松、郑毓信,1986,第58、53页)

而以布劳维尔为主要代表的直觉主义者更以十几年的时间和精力积极从事了发展新的直觉主义数学的工作,特别是,布劳威尔创造性解决了如何依据可构造性的标准来建立实数理论的问题(这就是所谓的"展形"),从而事实上也就将一个一般性的哲学主张发展成了一个具体的数学研究规划。希尔伯特则将希望寄托于他所提出的"希尔伯特规划",即能用有限的方法证明由古典数学抽象而成的形式数学理论的无矛盾性(和完备性),从而一劳永逸地解决数学的基础问题。

综上可见,数学基础研究在整体上就表现出了由纯粹的哲学分析向技术性研究的重要转变:尽管正是前者为相应的研究规划提供了必要的基础,或者说,所说的研究规划即可被看成各个学派在基础问题上基本主张的具体体现,但是,这些学派的主要工作又都是一种技术性的研究,他们并都希望能通过各自研究规划的成功实施证明自己哲学主张的正确性。

从历史的角度看,上述的转变应当说有着重要的意义,特别是,这就在很大程度上标志着数学哲学已经脱离一般哲学而成为了一门相对独立的学科:它不仅具有自己特殊的研究问题,而且也具有与一般哲学研究完全不同的研究方法(对此可特称为"数学-逻辑方法")。另外,也正由于数学基础中所采用的主要是技术性的研究方法,因此,数学家和逻辑学家就逐渐取代哲学家而成为数学基础研究的主要力量;对于基础研究人们并采取了与一般哲学研究不很相同的评价标准--例如,在对基础研究工作进行评价时,人们所关注的主要是相应的研究规划是否获得了成功,而不是其基本立场的正确与错误。正如著名逻辑学家弗兰克尔(A.Fraenkel)和巴-希勒尔(Y.Bar-Hillel)所指出的,"弗雷格和罗素的理论的唯一真正严重的缺陷在于无穷公理的令人怀疑的状态。"(Fraenkel&Bar-Hill,1958,P.166)这就是说,作为对于逻辑主义基础研究工作的评价,人们所关注的主要是其所采用的各个公理的状态,也即其能否被看成属于纯逻辑的范围。另外,在对希尔伯特的基础研究工作进行评价时,人们通常突出地强调哥德尔不完备性定理的影响,而后者事实上也只是从技术上证明了(原始意义上的)"希尔伯特规划"是不可能获得成功的。

最后,从总体上说,由于逻辑主义等学派的基础研究规划都没有能获得成功,在经历了所说的"黄金时代"以后,数学哲学在20世纪40年代以后就陷入了困境。

二、　数学哲学现代研究的不同范式

　从专业化的角度看,数学哲学脱离一般哲学成为一门相对独立的学科应当说是一个进步。但是,作为一种回顾,我们又应看到,高度的专业化也为数学哲学的未来发展埋下了隐患,特别是,如果数学哲学的研究与实际数学活动表现出了越来越大的距离,从而事实上成为了一个封闭的"小圈子",那么,其最终就可能由于缺乏动力而表现出发展的停滞。

事实上,后者也正是数学哲学在20世纪50-60年代所呈现出的真实图景。对此匈牙利学者卡尔玛(L.Kalmar)曾形象地说,"数学基础现在看来进入了一个悲观的、停滞的时期"。另外,由上面的分析我们则可看出,为了突破所说的困境,重要的一环就在于打破基础研究的封闭圈子。

具体地说,新的发展所可能采取的途径之一就是重新建立与一般哲学的紧密联系。例如,数学哲学现代研究中所出现的向数学哲学早期传统的"回归"事实上就可看成这一方向上的发展。这就是说,现代的一些数学哲学家又重新回到了那些自柏拉图和亚里士多德的时代起就曾吸引过无数哲学家的那些问题,即数学的本体论问题和认识论问题(真理性问题)。从而,这也就如埃斯帕瑞(W.Asprey)和基切尔(P.Kitcher)在对这一方向上的发展进行总结时所指出的,"这些问题正是认识论和形而上学这样一些(哲学)基本问题在20世纪的延续"。(Benacerraf&Putnam,1983;Maddy,1991)

例如,英国数学哲学家赖特(C.Wright)就曾提出,现代数学哲学即是围绕以下六个问题展开的:

(1)　　　　　　　　纯粹数学的命题是否应当用"真"和"假"这样两个概念去进行评价?如果是的话,这又是一种什么样的"真"和"假"的概念?

(2)　　　　　　　　如果认为真理性的概念为纯粹数学命题的评价提供了实质性的标准,那么,这种命题在这种标准下是否为真?

(3)　　　　　　　　如果对问题(1)和(2)作肯定的答复,那么,是什么使得数学命题成为真的?

(4)　　　　　　　　我们是怎样获得关于真的数学命题的认识的?

(5)　　　　　　　　在纯粹数学中,真理能否超出可证明的范围?

(6)　　　　　　　　数学为什么能应用于普通的事物?数学命题由证明而获得的可靠性是怎样转移到它的应用之中的?

另外,按照伯纳塞洛夫(P.Benacerraf)的分析,这正是数学哲学研究的主要困难所在,即我们无法发展出一个在本体论上和认识论上都能令人满意的数学哲学理论,从而陷入了一种两难的处境。

正因为上述的研究与一般哲学有着十分紧密的联系,对这种研究感兴趣的就主要是哲学家而并非是数学家,因此,我们也就可以把这一方向上的研究称之为"哲学家的数学哲学"。

其次,与上述的发展相对立,在数学哲学的现代发展中我们还可看到另外一种倾向,即希望彻底改变基础研究严重脱离实际数学活动的弊病。更为一般地说,这事实上也可看成对于基础研究基本立场的自觉反思和批判,即是认为数学哲学不应是一种规范性的研究。例如,赫斯(R.Hersh)就曾这样写道,我们"不承认任何一种先验的哲学信条有权告诉数学家应该做什么,或者宣称他们正在不由自主地或不知所谓地正在做什么"。(赫斯,1981)相反,持这种观点的数学哲学家普遍地认为,数学哲学应当成为实际数学工作者的"活的哲学"。这也就是说,实际的数学活动应当成为数学哲学的渊源和最终依据。从而,相对于基础研究而言,这事实上也就标志着数学哲学研究基本立场的重要转变,并可说是直接反映了实际数学工作者的呼声。

进而,与基础研究的封闭性不同,这一方向上的研究并明显地表现出了开放性,特别是,这更可被看成这一方向上的研究何以可能取得重要进展的一个重要原因,即是表现出了与现代科学哲学的密切联系。具体地说,现代的数学哲学不仅通过直接的"移植"由科学哲学研究中获得了新的研究问题,更从后者中吸取了很多有益的思想和方法。例如,拉卡托斯(I.Lakatos)正是通过把波普尔(K.Popper)的证伪主义科学哲学理论推广应用到数学领域从而发展起了自己的拟经验主义的数学观;另外,现代数学哲学中关于数学知识的增长及其合理性问题的研究也可以被看成一般科学哲学中相应研究在数学哲学中的直接"反响"。再如,现代的数学哲学家之所以特别重视数学史的研究则可以说是由科学哲学的研究在方法论上获得的重要教益。与基础研究惟一强调"数学-逻辑方?quot;不同,历史方法也已获得了在这一方向上工作的数学哲学家的普遍重视。

显然,相对于前述的"哲学家的数学哲学"而言,后一方向上的研究可说是代表了一种不同的"研究传统"或"研究范式"。另外,这两者相对于数学基础研究而言则又都体现了一种新的发展。从而,从总体上说,我们就可以对数学哲学的历史发展作出如下的划分:

数学哲学的早期发展1890左右基础主义的数学哲学1965左右数学哲学的现代发展实际数学工作者的"活的哲学"哲学家的数学哲学
三、 数学哲学的未来发展

上述关于数学哲学现代研究中存在有两种不同范式的断言可以由以下事实更为清楚地看出,即尽管新出版的一些论文集都声称自己收入了近年来在数学哲学领域中最有吸引力和最为重要的一些论文,但这些论文集在选材上却表现出了很大差异。例如,由托玛兹克(T.Tymoczko)所主编的《数学哲学中的新方向》与由哈特(W.Hart)所主编的《数学哲学》就甚至没有收入一篇共同的论文。(Tymoczko,1985;Hart,1996)从而,他们就的确可以被认为分属于两个完全不同的研究范式。

就现实而言,现代数学哲学研究中的"哲学范式"应当说具有较大的影响,以至被一些学者认为代表了这一领域中的主流。但是,由于它同样具有严重脱离实际数学活动的弊病,而且两者的距离看来日渐增大,因此,笔者以为,从发展的眼光看,与其相对立的范式将最终取代它并在数学哲学的研究中占据主导的位置。

基于这样的认识,以下从研究立场、研究方法、研究问题和基本的数学观这样四个方面对新的研究与基础研究作出进一步的比较。

第一,研究立场的转移,即由严重分离转移到与实际数学活动的密切结合。

具体地说,尽管逻辑主义等学派所采取的基本立场有所不同,但他们所从事的又都是一种规范性的工作,即是为实际的数学活动提出了明确的规范,并力图按照这样的标准去对已有的数学进行改造或重建。也正因为此,基础研究在整体上就暴露出了严重脱离实际数学活动的弊病。与此相反,人们在现代的数学哲学研究中则采取了新的基本立场,即认为数学哲学应当成为实际数学工作者的"活的哲学",也即应当"真实地反映当我们使用、讲授、发现或发明数学时所做的事"。

第二,对于数学史的高度重视。

作为上述基本立场的一个具体表现,数学史在现代的数学哲学研究中受到了普遍的重视。人们重新引证康德的著名论述:"没有科学史的科学哲学是空洞的;没有科学哲学的科学史是盲目的",并在这一方向上作出了切实的努力,从而历史方法事实上就已成为现代数学哲学研究中的一个基本方法。

与基础主义者唯一地强调"数学-逻辑方法"的作法相比,历史方法的应用标志着研究方法的重要变革,而且也为数学哲学的研究开拓了一些新的研究方向,例如关于数学发展的社会-文化研究等。

第三,研究问题的转移。

具体地说,现代的数学哲学家一般不再关心数学基础问题,而这事实上也可看成数学工作者实际态度的直接反映。正如斯坦纳(M.Steiner)等人所指出的,这是数学哲学研究的一个明显和无可辩驳的出发点,即人们具有一定的数学知识,这些数学知识并且是可靠的,也是很好地确证了的。

对于旨在建立"实际数学工作者的活的哲学"的数学哲学家来说,数学(活动)的本质无疑构成了数学哲学研究的核心问题。英国学者欧内斯特(P.Ernest)指出:"数学哲学应当对数学的性质作出说明,包括数学家的实践,数学的应用,数学在人类文化中的地位,等等。"(Ernest,1992)特殊地,与科学哲学的现代研究直接相对应,现代的数学哲学家也十分重视数学方法论的研究,如"数学定义是如何得到改进的?""证明方法是如何修改的?"等等。更为一般地说,又有:"数学知识是如何增长的?""是什么使得某些数学理论优于其它理论?""数学家在他们的工作中是否遵循着一定的方法论原则?"显然,这些问题也就清楚地表明了数学哲学对于实际数学活动的意义。这主要是一种启发性的意义,例如埃斯帕瑞和基切尔指出:"如果我们拥有了这样的原则,历史学家就可以此为依据对数学的实际历史与理想情况进行对照,从而发现一些有趣的事例,在其中即是由于外部因素而导致了对于方法论指向的偏离。进而,数学家也可能会发现这是一项有意义的工作,即认识到他们所选择的领域是如何由过去的数学中衍生出来的,某些方法论的原则又是如何在数学核心概念的历史演变中始终发挥了重要的作用。最后,这也可能并非言过其实,即所说的研究对于解决数学家们关于各种研究途径合理性和某些思想的意义的争论也有一定的启示作用。"(Asprey&Kitcher,1988,P.18)

第四,动态的、经验和拟经验的数学观对于静态的、绝对主义的数学观的取代。　　

由于逻辑主义等学派都希望能通过自己的工作为数学奠定一个"永恒的、可靠的基础",从而彻底解决数学的可靠性问题,因此,尽管这些学派对于什么是数学的最终基础有着不同的理解,但是,从总体上说,他们所体现的又都可以说是一种静态的、绝对主义的数学观。

与此相对立,由于把着眼点转移到了实际的数学活动,人们现今已不再把数学的发展看成无可怀疑的真理在数量上的简单积累;与此相反,作为人类的一种创造性活动,其中显然不可避免地包含有谬误的成分,而且,这种活动又必然地要受到社会、文化等多种因素的影响。从而,数学的发展就应被看成一个包含有猜测、错误和尝试、证明和反驳、检验与改进的复杂过程,并依赖于个体与群体的共同努力。

就现代的数学观而言,我们并应特别提及以下的一些理论:

首先,在此即有所谓的"数学活动论"(Kitcher,1984),而其基本内容之一就是认为数学不应简单地被等同于数学知识的汇集,而应被看成是由"语言"、"方法"、"问题"、"命题"等多种成分所组成的一个复合体,另外,作为数学活动社会性质的一种重要表现,每个数学家在现代社会中又必然地是作为相应社会共同体(可称为"数学共同体")的一员从事研究活动的,也即必然自觉地或不自觉地处在一定的数学传统之中。因此,我们也就应当把作为数学传统具体体现的各种"观念",如数学观和应当怎样去从事数学研究的共同认识等,看成数学(活动)的一个重要组成成分。

其次,除去经验主义的"复兴"以外,"拟经验主义的数学观"也应被看成现代数学观的一个重要内容。(Lehman,1979;Lakatos,1978;Putnam,1979)后者的基本观点就在于:除社会实践以外,数学还具有自己相对独立的检验标准,这就是关于数学意义的分析,如新的研究是否有利于认识的深化和方法论上的进步等。在笔者看来,这事实上也就是对于数学特殊性的直接肯定。

最后,作为数学现代发展的直接反映,一些学者提出了"数学是模式的科学"的观点。例如,麦克莱恩(S.MacLane)就曾明确地指出:"数学并不是关于这个或那个真实事物的,而是关于由各种事物或先前的模式所揭示的模式或形式的。因此,数学研究就并非是关于事物的研究,而是模式的研究。"(Maclane,1992)在笔者看来,这不仅提供了关于"什么是数学"的明确回答,而且也提供了关于"应当如何去从事数学研究"的明确解答。

综上可见,相对于基础主义而言,现代的数学哲学无论是研究问题、研究方法,或是研究的基本立场和主要观念,都已发生了质的变化。从而,从发展的眼光看,我们也就可以断言:这一革命性的变化必然会对实际的数学活动(包括数学研究和数学教学)产生十分重要和深远的影响。

摘自数学教育论坛