数学教学纲要应关注数据分析，统计和概率从而使学生

◆ 提出问题并搜集，整理和表示数据来解决提出的问题；

◆ 用数据分析方法解释数据；

◆ 形成并评价基于数据的推理，预测和争论；

◆ 理解和应用机会和概率的基本术语。

说明:幼儿园前-12年级

　　不断发展的技术使我们分析数据的能力有了显著变化。有助于商业，政治和研究领域被用于决策的数据的数量快速增长。消费者调查被用于产品的研制和市场营销。民意测验被用于决定政治竞选的策略。实验被用于决定新的医疗处理。同样重要地，统计常常被误用来左右舆论和错误地表示商品的质量和效用。统计知识对于学生成为有识之士和明智的消费者是必不可少的，而统计推理也是需要学习的。数据分析，统计和概率的学习为学生将数学与学校其他科目以及他们在日常生活里具有的经验联系起来提供了一条自然的途径。数据是从具体背景里产生的，即从存在事物的全体或样本的观察搜集而来或通过模拟产生。学生应学会提出有研究价值的问题；设计，实施并解释一份调查；研究，实验或搜集相关数据并用它决策；确定他们对决策信心如何，最后交流这些结果。他们能够通过对数据搜集过程的反思和评价得出准确和有价值的结论。解释数据出现的偏差是可以控制的，而对统计推理的过程的理解有助于学生得出准确和有价值的结论。"这个结果事出偶然的可能性有多大?""如果试验做很多，，很多次，那么这个试验得出一个特定结果的可能性如何?"对诸如此类的问题的回答要靠以概率为基础的推理。儿童通过教室里的学生或书包里的彩色笔对机会和随机性有了最初的理解。有两种情况，一种是可控制，定义好的情况，在这种情况下，一个事件的概率易于确定，在另一种情况取样和模拟帮助他们量化一个不确定结果的可能性。

　　统计和概率的坚实基础提供思考的工具和方法，这将使学生终身受益。由于儿童在学校学的一些东西对他们来说是预定的，因此他们学到涉及依赖于假设并具有一些不确定性的问题的解决方法是重要的。统计和概率所用的这类推理不总是直觉的，因而如果课程不包含这项内容，它就不会在儿童的头脑中形成。学生将受益于明智地处理变化与不确定性的能力。

◆ 提出问题并搜集，整理和表示数据来解决提出的问题；

　　为了理解统计，学生必须直接与数据打交道。这意味着以儿童对他周围世界自然而然的兴趣为基础。问"多少"，"哪一类"，"这些中的哪些"非常自然地产生。虽然这些问题不总是与问题有关，但它们确实提供了开始学习数据的机会。通过搜集与自身关注的问题有关的他们自己的数据。确定他们每天遇到的，根据这些将事物分类，学生懂得数据可以用来了解现象，回答问题和作出预测。

　　随着学生进入以后的年级，他们不断提出基于时事和兴趣的探究问题。例如，6-8年级的学生也对环境利用或环境保护感兴趣，提出"在咖啡厅用纸盘是否更好"的问题。中年级学生更关注商品和制造商的声明，如"一种品牌的电池比另一种更经用"，并关注公平问题。他们会问"去掉一个最低分并对其他分数取平均的评分方法公平吗?"通常关于事物的问题并不是清楚地显现为关于人或物的群体的问题。用数据可以提供答案的方式陈述问题是富有挑战性的。媒体提供能够得出有用信息的问题的大量例子，也提供并不是易于得出明确结果的例子。例如，调查一部分人他们倾向于哪位政界候选人可以得出一些有用的信息。然而，也可能被调查的人认为候选人都不合适，也许他们只表明哪个候选人他们比较不讨厌。由于这些复杂因素，9-12年级需要具备提出和探究需要使用设计试验或调查的原则的问题的经验。

　　在提出一个有用的，陈述清楚的问题后，学生面临设计一个产生数据的方法的任务，这些数据有潜力回答问题。研究表明在计划搜集数据上花时间是值得的(Cobb1998；RothBowen1994)。这并不说学生需要搜集他们要用的所有数据；但用到别人的数据时，学生需要考虑数据的获得方式。

　　儿童可以提出简单的搜集数据的计划。在小学年级，教师帮助提出问题或提供纸，当学生搜集数据时可以把数据记在上边。"数据"可以是实物，诸如鞋子或儿童自己。。学生学习如何提出问题，构造试验，记录数据。学生可以学习数据。到9-12年级，学生应理解试验设计的要点，变量以及这些对结论的有用性的影响。

　　一旦数据存在，它们会被整理或表示。在2年级前数据可以排序的思想是重要的。最初年级的学生提出把他们的生日数据排序的办法从而知道下一次是谁的生日(Russell1991)。3-5年级的学生通过分析和解释书报和其他媒体的表示在数据表示方面学得更多。教师可以引入各种图表。表示的变化和复杂性应随学生年级的增加而增加。6-8年级的学生应开始比较数据表示的有效性。为了或向听众清楚地表示数据(Tufte1983)，他们考虑范围的问题以及它对数据的影响。当学生处理较多或较复杂的数据，技术使他们能重新排列数据和易于用图表示数据，从而他们的注意力转到分析，理解和预测。表示的类型的选择必须被学生充分考虑。

◆ 用数据分析方法解释数据；

　　用好统计和概率思想，学生需要把一些数据看成一个数学实体。研究表明，从把数据看成个人的混合物到把数据看成具有必然性质的群体需要概念上的跳跃(Konold1998)。正如小学生从具体的5个物体形成5的抽象概念一样，学生必须形成数据集的抽象概念。而儿童常常对他们自己的数据(我的生日在11月，我家有5口人)，将学生的信息聚在一起能够引起对数据集的本质的注意。例如，当一年级学生作出他们家庭人口数的图表时，一个孩子会说"看，没有1口人，"从而引起为什么1不是这个数据集合的数据以及数据范围是多少的讨论。过后，虽然学生仍关注他们自己数据所处的位置，他们也从整体上描述这个数据集合。例如，他们会注意到"乘公共汽车上学的学生人数比采取其他方式上学的学生人数的总和都多，或"10天后，我们的多数植物7英寸高，但高度的范围是3英寸到8英寸"，到3-5年级，学生形成合计数据的思想并试图理解关于合计他们能够说什么。

　　当学生开始把数据集合看成一个整体，他们需要熟悉用于描述这个集合的工具。学生需要不断熟悉中心，分布的测量以及数据的分布形态来描述数据集合。通过与数据打交道，3-8年级的学生对中位数和算术平均值的理解不断深入。他们的理解以非正式的想法为基础，如中间，聚集趋势，使事物平均或平衡观点(MokrosRussel1995)。到中年级计算几个中心的值使学生有机会比较它们对表示整个数据集合的有效性。举一个例子，考虑在表达关于各州或省年平均降雨量的信息是用中位数还是平均值。而如果有高降雨量的一些数据，中位数或许是较好选择。

　　统计的中心概念使统计比较可行，这应成为幼儿园前-12年级的一个目标。在小学年级，学生或许说一个群体比另一个多或少一些属性。到中年级，学生应通过比较具体统计结果量化这些差别。从4-5年级开始并延续到中间年级，重点可以从分析和描述一组数据移到涉及两个或多个数据组的比较(Konold1998)。

　　在同样的年级水平，学生开始正式探究两个属性或变量之间的关系。当他们从中间年级到高中，学生会学到有助于分析这些关系的测量和表示。此时，学生将需要确定多个数据组的异同的新工具。学生也需要探究两组相关数据的联系与变化趋势的工具。

　　当数据被表示和分析时，学生需要考虑他们的数据的相互表示。关于调查的问题这些数据能告诉他们什么?他们如何通过数据的不同表示得出更好的见解?在他们的分析部分，学生应在详尽和批判性评价特征方面不断成熟。他们应考虑他们的结论被数据支持的程度，可以得出哪些结论，以及哪些因素他们没能考察。

　　最初接触数据时，学生通常只注意他们搜集的实际数据。例如，通过一个他们班级的调查，学生在描述和解释数据时，把班级看成了全部人口。然而，在现实世界，多数数据只是从考察的总体的一个样本搜集确定一个或几个合适的样本。从样本搜集数据，描述样本，以及作出与样本和总体有关部门的的合理推理是统计分析的核心。小学中低年级的学生开始形成基于统计推理的想法但尚不具备关于抽样的充分理解(Schwartz，etal1998)。对5-8年级学生进行研究的研究人员发现学生不能预见到搜集和分析数据可以得出比他们的判断更可靠的见解(Hancock，KaputGoldsmith1992)。在小学高年级和中学，学生可以具备样本选择，统计推理以及量化与一个或几个样本有关的不确定性。从一个样本得出的推理的价值受很多因素的严重影响，包括样本的表示和它的大小。9-12年级可以开始理解这些概念。

　　除此之外，9-12年级的学生应考虑对样本产生偏见的因素。他们还应理解量化与基于数据的决策有关的确定性。建立置信区间并由分布进行推理并不容易。广泛研究中学生的统计学家和统计教育者认为统计推理的概念是微妙的并且到中学才能充分形成(Scheaffer，WatkinsLandwehr1996)。学生中学毕业时应具备判断基于新闻中的数据的争论的可靠性的能力。

◆ 理解和应用机会和概率的基本术语。

　　概率与搜集，整理和表示数据，描述，分析和整理数据以及推理与预测紧密联系。它本身也是一门有趣的学科。它是一个与其他数学领域，特别是数和几何，发生联系的领域。我们在现代生活中做出的很多决策在本质上是不确定的。例如，我们需要概率"理解抽奖，保险，医学试验，工业质量控制，天气预报，运动创伤，基因和现代物理(Scheaffer，WatkinsLandwehr1996)。"

　　在幼儿园前-2年级教师应扩充儿童的词汇，介绍和强调可能性术语，如"我们今天下午可能休息"，今天下午不太可能下雨。在3-5年级，可以在预测事件的规律时考虑机会的概念。他们通过如下活动学习这些概念，用硬币或转盘做有已知理论结果的试验，考虑他们知道的现实事件并能根据他们的经验把这些事件分为不可能的，不太可能的，可能的，或必然的。学生遇到的，特别是在学校遇到的很多现象具有可以预见的结果。如果一个转盘1/3红，1/3白，1/3蓝，那么可以预见，一定次数后，大约1/3的次数指针落在蓝色区域。通过考虑类似事件，学生进而理解一个特定结果是不确定的尽管我们知道它的可能性。在类似的一个例子里，当抛掷一个均匀硬币时，正面或反面朝上的可能性是一样的。但抛一次硬币出现哪个结果是不确定的。令人惊奇的是，如果事件是随机的并被很多很多次试验，那么结果的分布形成规律。这个必然的规律与我们的直觉相反。在如此情形下特定事件不能预测但结果的规律可以预测的思想是学习推理统计的重要概念。

　　当学生对随机性的理解渐趋完备，他们能够用结果的分布量化转盘等情形中的概率。如果转盘1/4红3/4白，落在白色区域的可能性是多少?条件概率也可以介绍，虽然研究表明学生在涉及条件语句的概率推理方便会遇到很大困难Shaughnessy1998)。学生还可能进而理解可以指望仔细挑选的样本反映他们研究的总体的情况。从模拟产生的样本分布之后应是软件产生的模拟，从中间年级到中学逐步达到对这些概念的较深刻理解。