探索，猜想，论证

小学生学习数学的过程，是一种复杂的、有规律的、在教师引导下的认识过程。在教学中，可以结合具体教学内容，根据认知发生原理，按照“实验探索——猜想论证——应用推广”这一人类掌握数学的思维活动序列设计教学程序。现以“方圆率”一节练习课为例，谈小学数学教学设计。

一、实验探索

爱因斯坦说过，提出一个问题，往往比解决一个问题更为重要。在教学中，教师首先应该注意创设情境，让学生带着疑问积极思维，去“实验”、去“探索”、去“发现”……。例如在讲授“方圆率”时，教师可设计以下步骤引导学生进行探索发现。

1.设疑引思

（1）右图正方形的面积是25平方厘米，求图中阴影部分的面积。附图{图}

学生根据5×5＝25，可得知正方形边长是5厘米，同时还知圆的直径也是5厘米，于是圆的面积、阴影部分的面积均可求出。

（2）如果右上图正方形的面积是10平方厘米，求阴影部分的面积。

此题用上面的方法无法求出正方形的边长（圆的直径），也就是说在小学生现有的知识库中，无法找到现成的解答方法。怎么办呢？这时教师可引导学生另辟蹊径。

2.实验探索

组织学生按下面步骤进行实验探究。

（1）计算全班分成四个小组，分别依次计算出边长是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的正方形面积和直径是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的圆的面积，以及圆面积与正方形面积的百分比。

（2）汇报请各组选出代表汇报计算结果，并填好下表。

直径12345圆形面积0.7853.147.06512.5619.625边长12345正方形面积1491625圆面积占正方形面积的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%78.5%直径6789……圆形面积28.2638.46550.2463.585……边长6789……正方形面积36496481……圆面积占正方形面积的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%……

（3）观察观察比较上表，学生初步发现：如果圆的直径和正方形的边长相等，那么当π取3.14时，圆面积占正方形面积的百分比均为78.5％。

二、猜想论证

数学方法理论的倡导者G.波利亚曾说过，在数学领域中，猜想是合理的、值得尊重的，是负责任的态度。他认为，在有些情况下，教猜想比教证明更为重要。他说，如果在学习数学时还有数学发现方面的什么事情可以做的话，就必须使学生有个提问题的机会，在这些问题中他得在一定水平上，首先是猜想，然后是证实一个数学事实。然而普通教科书不提供那样的机会。所以，在教学中当学生初步发现问题后，还要按照“问题→反复思索→联想、顿悟→提出假说→验证结论”这个数学猜想的思维模式进行教学。例如教师在学生初步发现问题的基础上，可引导他们对上面的发现进行反复思索、分析概括，并由“圆周率”通过联想、顿悟后提出有关“方圆率”的猜想：如果圆的直径和正方形的边长相等，那么圆面积占正方形面积的比是一个固定的数。

最后再启发学生对这一猜想进行论证（直观的验证或逻辑的证明），使他们真正理解“方圆率”。

a设正方形的边长为a，则面积为S[,正]＝a[2]；圆的半径为─，则2a圆的面积为S[,圆]＝（─）[2]π。2aa[2]（─）[2]π──πS[,圆]24πS[,圆]π因为───＝──────＝────＝─，所以───＝─，证毕。S[,正]a[2]a[2]4S[,正]4

三、应用推广

“读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习。”教学中，当学生理解了所学的知识以后，教师还要引导他们将所学的东西用心消化，吸收到自己的知识系统中，吸收到学习者的整体智力结构中，使得这些知识能在更广泛的情境中得到应用和扩展。例如学生理解了“方圆率”以后，可设计出以下不同层次的练习题启发学生回答，这样可深化他们对知识的理解与掌握，培养了创造能力。

1.基本训练

已知右图正方形面积是10平方厘米，求阴影部分面积。附图{图}

学生依据上面的规律，便可进行如下计算。附图{图}

2.变式训练

（1）用硬纸做一个边长为10厘米的正方形和一个直径为10厘米的圆，再将圆剪成两个半圆。

①引导学生用两个半圆在正方形里摆各种图形。如：附图{图}

②启发学生讨论，总结出求图中阴影部分面积的方法：πS[,阴]＝S[,正]×（1－──）。

（2）用硬纸做一个边长为10厘米的正方形和一个直径为10厘米的1圆，再将圆剪成四个──圆。

①引导学生用四块──圆在正方形内摆各种图形，如：附图{图}

②启发学生认真观察，讨论总结出求图中阴影部分面积的方法：πS[,阴]＝S[,正]×（1－──）。

3.拓展训练

（1）用硬纸做一个边长为10厘米的正方形，并在正方形内画一个最大的圆。

①把这个正方形平均分成两等份（如图），启发学生讨论总结出每份图中阴影部分面积的求法：附图{图}

②把这个正方形平均分成四等份（如图），启发学生讨论总结出每份图中阴影部分面积的求法：附图{图}

（2）用硬纸做若干个边长均为10厘米的正方形，并在每个正方形内画一个最大的圆。

①用这些小正方形摆成一个大正方形（如图），启发学生讨论总结出求图中阴影部分面积的方法：附图{图}

②用这些小正方形摆成一个长方形（如图），启发学生总结出求图中阴影部分面积的方法：附图{图}

多年的教改实践结果显示：结合教材和学生实际，按照人的认识进化过程或发生过程，采用“再创造”的教学模式进行教学，既有利于学生对知识的理解与掌握，又可使他们的形象思维、抽象思维和顿悟思维得到发展，在教学（学习）的全过程中学生还领悟到了创造科学的伟大智者们，在那条荆棘丛生的科学研究的道路上奋力攀登的风采，从而培养了他们的创造精神。

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