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(课程教材研究所副编审)颜其鹏
在中学数学教学实践中，存在的一个问题是：数学教学只重视教而相对地忽视学，只重视教学方法、教学手段等的改革，而相对地忽视对学生学习规律、学习方法等的探索。这样，造成了目前数学教学虽费时较多，但教学效果并不太佳。总结上述教训，笔者认为，提高数学教学质量的关键在于根据学生学习数学的心理机制和教学内容进行数学教学。为此，本文在对学生数学认知结构、数学学习过程进行较为系统的分析和探讨的基础上，提出了一些相应的数学教学策略。
一、数学认知结构
所谓数学认知结构，笔者认为，它是数学知识结构与学生个体心理结构相互作用的产物，是学生头脑中的数学知识、技能按照自己的感知、记忆、表象、想像、思维等认知操作，组成的一个具有内部规律的整体结构，是数学知识结构“内化而来”的。
数学知识经验系统是学生头脑中已有的数学知识、经验及其组织，它包括数学基础知识和数学技能两个要素。
数学基础知识是学生头脑中已有的数学事实、结论性知识及其组织特征。它是学生经过数学学习后所形成的经验系统，包括数学概念，数学语言，数学公式、符号，数学命题，数学方法以及它们的组织网络。
数学技能是相应于数学基础知识发生、发展和应用过程中而产生的，顺利完成数学活动任务的复杂的动作系统。它包括数学操作技能、心智技能等。
事实上，学生的数学知识经验越丰富，知识的组织越合理，就越容易内化外界输入的信息，并吸收它为自己的数学认识结构中的一部分。比如，学生对于二元一次方程组、一元二次方程的解法掌握得比较牢固，对解方程或方程组的“消元、降次”思想理解得比较好，那么就很容易掌握二元二次方程组、简单的高次方程的解法。
(二)数学认知操作系统是指学生在已有的数学知识经验系统的基础上，运用感知、想像、数学思维等对数学信息(新知识)进行操作，处理的较稳定的个性认知特征，它可进一步概括为数学能力，其核心是数学思维能力，而表现和衡量的标准则是数学认知品质(如认知的目的性、敏捷性、全面性、准确性、深刻性等)。
认知操作系统是由一定年龄阶段学生的认知发展(即智力发展)水平和特征所决定的，它反映了学生的认知(智力)发展状况，具有相对稳定性，但又表现出较大的个体差异，因此，它是教师进行因材施教的根据。
(三)数学元认知系统就是个体对自己数学认知活动的监控、调节系统，是学生进行数学认知活动的中枢指挥系统。表现在学生主体根据数学活动的要求，选择适宜的认知操作方法进行认知活动，并监控认知活动进行的过程；同时，还不断地分析反馈信息，及时调节自己的认知过程和策略。
数学元认知的实质就是学生的数学观念或数学素养，是学生用数学思维方式去考虑问 题、处理问题的自觉意识和习惯。
从上面对数学认知结构要素的分析可以看出，数学认知结构具有下列的功能：1.选择。当数学信息(新知识)刺激时，数学认知结构必须对已有的数学知识经验进行过滤，分化，以找出与新知识有所联系的已有的知识经验；2.同化，即用已有数学知识经验去说明、解释并容纳数学新知识；3.顺应。由于主体数学认知结构具有自我意识和自我调节能力，当原有数学认知结构不能容纳数学新知识时，则主体对原数学认知结构进行改造，以便同化新知识；4.预见。个体通过数学认知结构能从整体上把握数学事实或结论，从而产生数学直觉，显然，直觉带有一定的预见性质；5.迁移与运用，即数学认知结构中的知识经验、认知操作系统或元认知系统都可以影响后继数学学习、其他学科学习和解决实际问题。
正因为数学认知结构具有上述功能，可以说数学认知结构是数学认知活动赖以进行的心理结构，同时，形成良好的数学认知结构又是数学认知活动的总目标。
二、数学学习过程的模式
对于数学学习过程，我们认为是在特定的学习情境中，在数学教师的主导下，学生主体对数学知识的认知活动过程，在这个过程中，学生的数学认知结构在学习数学的情感系统的参与和影响下，不断地对数学新知识进行认知操作，结果导致学生的数学认知结构和学习数学的情感系统不断地变化和发展，从而达到数学学习目标的要求。
(一)数学学习的新内容是数学学习的客体，它是数学教材所叙述的数学事实(如数学语言、符号、公理、原始概念等)，数学概念、数学原理(如数学定理、命题、定律、公式等)、数学技能(包括操作技能、心智技能)等知识组成的，是在一定时间限度内学生所要掌握的知识。因此，它可指一节课的内容、一节或一章的内容，也可指一门数学分支等。
数学情境是指学生学习数学新知识的外部环境，包括教师创设的数学教学情境，课堂学习气氛等，它伴随着教师教学活动的深入而直接地、持续地与整个数学学习活动发生相互作用，甚至决定数学学习效果。
(二)数学学习的准备可以分为认知准备和情感准备两个方面。认知准备指学生原数学认知结构，是学生进行数学学习的必要条件(先决认知条件)，情感准备是学生能否专心于数学学习过程中的心理条件，它一般由先前数学学习效果、先前其他学习、对数学学习价值的认识和数学学习动机、学习态度、情绪、意志等情感因素所决定的。
(三)学生有了适当的学习准备后，当数学信息(数学新知识)刺激大脑时，大脑就通过学习情景与数学信息发生相互作用，从而进入了学习的内化阶段。
内化阶段包括定向、联想、同化或顺应等几个心理过程。
1.在学习的定向阶段，首先，学生从对学习情境所提供的背景关系的俯瞰全貌式的概览开始，不断的探究、领悟新知识的价值和特点，从而使原数学认知结构与新知识发生认知冲突，这种冲突使得他们在心理上产生学习新知识的认知需要和学习动机，从而促使他们调用原认知结构去处理新知识，进行认知活动。其次，学生通过感官的作用，辨别数学新知识的特征(如数学符号、术语、公式、图象等)，并把它和已有的数学知识经验联系起来，从而分化出数学新知识的本质特征和非本质特征。最后，通过对本质特征和非本质特征的区分，概括出新知识的有意义的东西，获得了数学新知识的表象和结构，即潜在意义。
2.知觉到新知识的潜在意义后，要达到对新知识的理解，还需要新旧知识相互作用，这一思维过程从联想开始。
联想即把原数学认知结构中与数学新知识有联系的知识经验(如概念、命题、术语、思想方法等)分化出来，以提供内化新知识的衔接点和组织者。它包括选取原数学认知结构中与新知识有关的知识经验，区分新旧知识的异同，分化与新知识有本质联系的知识经验等几个环节。对于复杂的数学学习(如问题解决)，联想是创造性思维的第一步，即它能综合已有的知识，在对问题情景的整体把握基础上，构造出新问题的基本结构和模型，从而对问题的解决提出假设。
例如，中学生在学习矩形概念时，他们从日常生活和小学学过的长方形概念中取得了潜在意义；然后，通过联想，从原数学认知结构中分化出内化新知识的衔接点——平行四边形概念和性质。
联想的结果，使新旧知识建立了实质的、非人为的联系。接着，学生可以运用已分化出的知识经验来内化新知识，并且以同化和顺应两种形式来进行。
3.同化是利用原数学认知结构的数学知识经验去说明、解释并容纳数学新知识。例如，学生学习矩形的概念就是利用平行四边形概念进行同化的过程。
顺应是指当原数学认知结构不能有效地容纳数学新知识时，主体将对原数学认知结构进行改造，以适应新知识的学习。顺应的过程是：对新知识进行归纳、概括，对原数学认知结构进行改造和整理，从而使新旧知识建立密切联系，新知识被纳入到学生的数学认知结构中，原数学认知结构得到改造并扩大。例如，初一学生学习代数初步知识，就是通过顺应来进行的。尽管他们在小学学过算术，但算术与代数的不一致性，使他们只能改造头脑中已有的算术知识结构，通过字母代表数的学习，才逐渐掌握代数知识。
如果说同化的作用是改造新数学知识使之与数学认知结构相吻合的话，那么顺应则是改造原认知结构以适应学习新知识的需要，因而同化只能从量上丰富原数学认知结构，顺应则能从质上改变数学认知结构，不过，同化和顺应往往存在于同一个认知活动中，在同化中有顺应，而在顺应中，尽可能先同化。例如，数系的一系列扩张，就是旧数系顺应新数系，而新数系则尽可能保持旧数系的原有法则，这是一个实质上顺应，形式上同化的过程。
值得指出的是，不管同化或顺应，总要对原有数学知识经验和新知识作出重新评价。即使新知识可作为原数学知识经验的补充和完善，原数学知识经验的某些部分也应重新分类、重新形成概念，并且这一过程还特别需要元认知系统的监控、调节。
经过同化和顺应后，新数学知识纳入了学生数学认知结构中，原数学认知结构发生了变化。但是新旧知识的相互作用并未停止，新知识的保持和遗忘就是同一相互作用的继续。因此，只有采用一定的强化措施，才能巩固所获得的新知识。
(四)强化阶段是数学新知识的进一步理解和巩固阶段，它是通过练习、形成性评价、小结(概括)、灵活运用等方式而实现的。
1.练习过程是学生把数学新知识初步运用于具体情境中的过程。通过练习，可以使自己对新知识的理解程度有明确的认识，从而起反馈作用；可以使自己对新知识的理解更完整化、具体化，从而进一步保持和长时间巩固新知识，并形成技能；同时，还有助于提高学生的学习兴趣，维持良好的学习动机。有时，练习还可以使学生产生整体感受，从而为领悟数学整体的突出性质——数学思想打下基础。
课堂例题、课堂练习、课外作业等都可看作是练习。
2.应当说，形成性评价是以检验学生对学习内容的领会程度为标准的，因而它应贯穿于数学新知识意义的获得和保持过程的始终。它又包括教师课内诊断和学生自我评价两个方面。教师对学生的课内诊断一般通过观察、提问和形成性测试等手段进行。学生的自我评价一般是从教师的评价、原数学认知结构中元认知的监控和调节作用以及练习中得出的，它也包括认知和情感两方面内容。
通过形成性评价后，学生对于自己掌握新知识的情况有所了解，从而调节自己进一步努力的方向；同时，教师可对症下药，采取补救措施。
3.小结是指在获得新知识的意义并通过练习(通过变式和具体运用，抓住本质特征)后，用最简单、最经济、概括性最强的术语对新知识加以组织，使数学新知识变为具有概括性，能融合于已有知识经验中的基本概念、基本命题、公式甚至思想等，从而使新知识更加巩固。通过小结，新知识由于其概括性而具有更大的迁移价值，即还能影响后继学习和运用它们解决问题。
4.新知识的灵活运用过程是指创造性地利用新知识
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